19. Найдите точку максимума для функции f(x)= 2x³-3x² - 36x-12

Решение:

Чтобы найти точку максимума функции, нужно найти её производную, приравнять её к нулю и исследовать полученные точки.

1. Найдём производную функции \( f(x) \):

\( f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 3x^2 - 36x - 12) \)

\( f'(x) = 6x^2 - 6x - 36 \)

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( 6x^2 - 6x - 36 = 0 \)

Разделим на 6:

\( x^2 - x - 6 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Можно использовать дискриминант или теорему Виета.

Используем теорему Виета: \( x_1 + x_2 = 1 \), \( x_1 x_2 = -6 \). Корни: \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = -2 \).

3. Исследуем критические точки, чтобы определить, где функция имеет максимум.

Возьмём интервал \( (-\infty, -2) \). Возьмём \( x = -3 \):

\( f'(-3) = 6(-3)^2 - 6(-3) - 36 = 6(9) + 18 - 36 = 54 + 18 - 36 = 72 - 36 = 36 \). Производная положительна, значит функция возрастает.

Возьмём интервал \( (-2, 3) \). Возьмём \( x = 0 \):

\( f'(0) = 6(0)^2 - 6(0) - 36 = -36 \). Производная отрицательна, значит функция убывает.

Так как производная меняет знак с плюса на минус при переходе через \( x = -2 \), то в точке \( x = -2 \) функция имеет локальный максимум.

Возьмём интервал \( (3, \infty) \). Возьмём \( x = 4 \):

\( f'(4) = 6(4)^2 - 6(4) - 36 = 6(16) - 24 - 36 = 96 - 24 - 36 = 72 - 36 = 36 \). Производная положительна, значит функция возрастает.

Следовательно, точка максимума находится при \( x = -2 \).

Ответ: x = -2