19. Какие из следующих утверждений верны? 1) Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, перпендикулярны. 2) Любые два равносторонних треугольника подобны. 3) Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон. В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение:

1. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, перпендикулярны. — Неверно. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны друг другу.
2. Любые два равносторонних треугольника подобны. — Верно. У равносторонних треугольников все углы равны 60°, а значит, они подобны по первому признаку подобия (по двум углам).
3. Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон. — Неверно. Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними. \( S = \frac{1}{2}ab \cdot \text{sin}(\gamma) \). Так как \( \text{sin}(\gamma) \) может быть меньше 1, то площадь может быть меньше произведения двух сторон, но не всегда. Например, если угол 90°, то \( S = \frac{1}{2}ab \), что меньше \( ab \). Если угол 30°, то \( S = \frac{1}{2}ab \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}ab \), что также меньше \( ab \). Однако, формулировка «меньше» не абсолютна. Если принять, что \( \text{sin}(\gamma) \) может быть равно 1 (угол 90°), то \( S = \frac{1}{2}ab \) < \( ab \). Но если взять тупой угол, синус будет положительным. Утверждение не является строго верным в общем случае.

Ответ: 2