19. Исследовать функцию и построить график: f(x) = x² + 2x - 3

Исследование функции \( f(x) = x^2 + 2x - 3 \)

1. Область определения: Функция является многочленом, поэтому область определения — все действительные числа: \( D(f) = (-\infty; +\infty) \).

2. Чётность/нечётность: \( f(-x) = (-x)^2 + 2(-x) - 3 = x^2 - 2x - 3 \). Так как \( f(-x) \neq f(x) \) и \( f(-x) \neq -f(x) \), функция не является ни чётной, ни нечётной.

3. Точки пересечения с осями:

• С осью Oy: При \( x=0 \), \( f(0) = 0^2 + 2(0) - 3 = -3 \). Точка пересечения: (0; -3).
• С осью Ox: При \( f(x)=0 \), \( x^2 + 2x - 3 = 0 \). Решим квадратное уравнение:
  • Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \).
  • Корни: \( x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2+4}{2} = 1 \) и \( x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-2-4}{2} = -3 \).
  Точки пересечения: (-3; 0) и (1; 0).

4. Вершина параболы: Функция является квадратичной, её график — парабола. Вершина параболы находится в точке \( x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(1)} = -1 \). Тогда \( y_v = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4 \). Вершина параболы: (-1; -4).

5. Направление ветвей параболы: Так как коэффициент при \( x^2 \) (\( a=1 \)) положителен, ветви параболы направлены вверх.

6. Построение графика:

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке (-1; -4), пересекающая оси Ox в точках (-3; 0) и (1; 0), ось Oy в точке (0; -3). Ветви параболы направлены вверх.