№19. Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 5 км. Скорость первого пешехода составляла 2/3 скорости второго. Найдите скорости каждого пешехода, если они встретились через полчаса.

Задача №19. Скорости пешеходов

Привет! Давай разберем эту задачку вместе. Тут нужно найти скорости двух пешеходов, зная, сколько времени им понадобилось, чтобы встретиться, и как их скорости соотносятся друг с другом.

Дано:

• Общее расстояние: \( S = 5 \) км.
• Время до встречи: \( t = 0.5 \) часа (полчаса).
• Скорость первого пешехода: \( v_1 = \frac{2}{3} v_2 \), где \( v_2 \) — скорость второго пешехода.

Найти:

• Скорость первого пешехода: \( v_1 \).
• Скорость второго пешехода: \( v_2 \).

Решение:

Когда два объекта движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Это называется скоростью сближения.

1. Найдем скорость сближения пешеходов. Так как они двигались навстречу друг другу, то общая скорость, с которой они преодолели расстояние в 5 км, равна сумме их скоростей: \( v_{сбл} = v_1 + v_2 \).
2. Мы знаем, что расстояние равно скорости, умноженной на время: \( S = v_{сбл} \times t \).
3. Теперь мы можем найти скорость сближения: \( v_{сбл} = \frac{S}{t} = \frac{5 \text{ км}}{0.5 \text{ ч}} = 10 \text{ км/ч} \).
4. Теперь подставим соотношение скоростей в формулу скорости сближения: \( v_1 + v_2 = 10 \).
5. Заменим \( v_1 \) на \( \frac{2}{3} v_2 \): \[ \frac{2}{3} v_2 + v_2 = 10 \]
6. Чтобы сложить дроби, приведем \( v_2 \) к общему знаменателю: \[ \frac{2}{3} v_2 + \frac{3}{3} v_2 = 10 \]
7. Сложим дроби: \[ \frac{5}{3} v_2 = 10 \]
8. Теперь найдем \( v_2 \), умножив обе стороны на \( \frac{3}{5} \): \[ v_2 = 10 \times \frac{3}{5} = \frac{30}{5} = 6 \text{ км/ч} \].
9. Наконец, найдем скорость первого пешехода, используя соотношение \( v_1 = \frac{2}{3} v_2 \): \[ v_1 = \frac{2}{3} \times 6 = \frac{12}{3} = 4 \text{ км/ч} \].

Проверка:

Скорость сближения: \( v_1 + v_2 = 4 \text{ км/ч} + 6 \text{ км/ч} = 10 \text{ км/ч} \).
Расстояние, которое они прошли вместе за полчаса: \( S = 10 \text{ км/ч} \times 0.5 \text{ ч} = 5 \text{ км} \). Все верно!

Ответ: Скорость первого пешехода 4 км/ч, скорость второго пешехода 6 км/ч.