19/8 * 42/13 + 5/27 : (18/27 + 3/7) =

Решение:

1. Сначала выполним умножение: \[ \frac{19}{8} \cdot \frac{42}{13} = \frac{19 \cdot 42}{8 \cdot 13} = \frac{19 \cdot 21 \cdot 2}{4 \cdot 2 \cdot 13} = \frac{19 \cdot 21}{4 \cdot 13} = \frac{399}{52} \]
2. Затем выполним сложение в скобках: \[ \frac{18}{27} + \frac{3}{7} = \frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{3}{7} = \frac{2}{3} + \frac{3}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 3 \cdot 3}{3 \cdot 7} = \frac{14 + 9}{21} = \frac{23}{21} \]
3. Теперь выполним деление: \[ \frac{5}{27} : \frac{23}{21} = \frac{5}{27} \cdot \frac{21}{23} = \frac{5 \cdot 21}{27 \cdot 23} = \frac{5 \cdot 7 \cdot 3}{9 \cdot 3 \cdot 23} = \frac{35}{9 \cdot 23} = \frac{35}{207} \]
4. Наконец, сложим результаты первого и третьего шагов: \[ \frac{399}{52} + \frac{35}{207} \]
5. Приведём дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 52 и 207 равен 52 * 9 = 468. (52 = 4 * 13, 207 = 9 * 23).
6. \[ \frac{399 \cdot 9}{52 \cdot 9} + \frac{35 \cdot 2}{207 \cdot 2} = \frac{3591}{468} + \frac{70}{414} \]
7. Пересчитаем знаменатель. 52 = 2*2*13. 207 = 3*3*23. Общий знаменатель 52 * 207 = 10764.
8. \[ \frac{399 \cdot 207}{52 \cdot 207} + \frac{35 \cdot 52}{207 \cdot 52} = \frac{82603}{10764} + \frac{1820}{10764} = \frac{84423}{10764} \]
9. Сократим дробь. Оба числа делятся на 3: \( 84423 / 3 = 28141 \), \( 10764 / 3 = 3588 \).
10. \[ \frac{28141}{3588} \]
11. Проверим, делится ли 3588 на 23 (из 207): 3588 / 23 = 156.
12. Проверим, делится ли 28141 на 23: 28141 / 23 = 1223.5. Не делится.
13. Проверим, делится ли 3588 на 13 (из 52): 3588 / 13 = 276.
14. Проверим, делится ли 28141 на 13: 28141 / 13 = 2164.69. Не делится.
15. Проверим, делится ли 3588 на 4 (из 52): 3588 / 4 = 897.
16. Проверим, делится ли 28141 на 4. Не делится.
17. Проверим, делится ли 3588 на 9 (из 207): 3588 / 9 = 398.
18. Проверим, делится ли 28141 на 9. Сумма цифр 2+8+1+4+1 = 16. Не делится.
19. Проверим, делится ли 3588 на 21 (3*7): 3588 / 21 = 170.85.
20. Окончательное решение: \( \frac{84423}{10764} \).

Ответ: \( \frac{84423}{10764} \).