№19.4 (Дальний восток) На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее -40. При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на 5, а на всех красных – чётные. Известно, что самое большое число на красной карте равно удвоенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт. a) Может ли количество синих карт быть равным 1? б) Может ли количество синих карт быть равным 30? в) Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?

Решение:

Пусть $$k$$ — количество красных карт, а $$s$$ — количество синих карт.

Числа на синих картах делятся на 5, а на красных — чётные. Все числа на картах одного цвета различны, и все числа больше -40.

Самое большое число на красной карте равно $$2s$$. Так как оно чётное, это условие выполняется всегда.

Самое большое число на синей карте равно $$k$$. Так как оно делится на 5, это условие выполняется всегда.

а) Может ли количество синих карт быть равным 1?

Если $$s = 1$$, то самое большое число на красной карте равно $$2 \times 1 = 2$$. Это чётное число, большее -40.

Самое большое число на синей карте равно $$k$$. Так как $$s=1$$, нам нужна хотя бы одна красная карта, чтобы число 2 было самым большим на красной карте. Следовательно, $$k
e 2$$.

Если $$k=0$$, то нет красных карт, тогда самое большое число на синей карте не определено. Это противоречит условию.

Если $$k=1$$, то самое большое число на синей карте равно 1. Но числа на синих картах должны делиться на 5, а 1 не делится на 5. Значит, $$k$$ не может быть 1.

Если $$k=2$$, то самое большое число на синей карте равно 2. Но 2 не делится на 5. Значит, $$k$$ не может быть 2.

Если $$k=3$$, то самое большое число на синей карте равно 3. Но 3 не делится на 5. Значит, $$k$$ не может быть 3.

Если $$k=5$$, то самое большое число на синей карте равно 5. Это делится на 5. Есть 1 синяя карта с числом 5. Есть 5 красных карт. Самое большое число на красной карте равно $$2s = 2 \times 1 = 2$$. Это чётное число. Все числа на красных картах должны быть чётными и различными, и больше -40. Например, 0, -2, -4, -6, -8. Самое большое число на синей карте равно $$k=5$$. Это делится на 5. Все числа на синих картах должны делиться на 5, быть различными и больше -40. Например, 5.

Таким образом, $$s=1$$ возможно, если $$k$$ — число, которое делится на 5. Например, $$k=5$$.

Ответ: Да, может.

б) Может ли количество синих карт быть равным 30?

Если $$s = 30$$, то самое большое число на красной карте равно $$2 \times 30 = 60$$. Это чётное число, большее -40.

Самое большое число на синей карте равно $$k$$. Это число должно делиться на 5.

Если $$k = 30$$, то самое большое число на синей карте равно 30, которое делится на 5.

У нас есть 30 синих карт, числа на которых делятся на 5, различные и > -40. Например, 30, 25, 20, ..., 5, 0, -5, -10, -15, -20, -25, -30, -35. Это 30 чисел.

У нас есть 30 красных карт, числа на которых чётные, различные и > -40. Самое большое число — 60. Например, 60, 58, ..., 2, 0, -2, ..., -58. Это 60 чисел.

Таким образом, $$s=30$$ возможно, если $$k$$ — число, которое делится на 5, и $$k
e 60$$. Например, $$k=30$$.

Ответ: Да, может.

в) Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?

Пусть $$s$$ — количество синих карт, $$k$$ — количество красных карт.

Самое большое число на красной карте — $$2s$$. Это число чётное.

Самое большое число на синей карте — $$k$$. Это число делится на 5.

Все числа на красных картах — чётные, различные, > -40.

Все числа на синих картах — делятся на 5, различные, > -40.

Количество чётных чисел > -40: 38, 36, ..., 2, 0, -2, ..., -38. Всего 39 таких чисел (от 2 до 38 — 19 чисел, от 0 до -38 — 20 чисел).

Количество чисел, делящихся на 5, > -40: 35, 30, ..., 5, 0, -5, ..., -35. Всего 15 чисел (от 5 до 35 — 7 чисел, от 0 до -35 — 8 чисел).

Максимальное число на красной карте: $$2s \neq k$$.

Максимальное число на синей карте: $$k \neq 2s$$.

Если $$2s$$ — самое большое число на красной карте, то $$k \neq 2s$$.

Если $$k$$ — самое большое число на синей карте, то $$2s \neq k$$.

Рассмотрим числа, делящиеся на 5, которые больше -40: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40. (8 чисел)

Рассмотрим чётные числа, которые больше -40: 2, 4, 6, ..., 40. (20 чисел)

Максимальное число на красной карте $$2s$$. Это число чётное.

Максимальное число на синей карте $$k$$. Это число делится на 5.

Числа на красных картах: $$k$$ чётных, различных, $$>-40$$. Самое большое $$2s$$.

Числа на синих картах: $$s$$ чисел, делящихся на 5, различных, $$>-40$$. Самое большое $$k$$.

Из условия, что числа на красных картах чётные, следует, что $$2s$$ должно быть чётным. Это выполняется всегда.

Из условия, что числа на синих картах делятся на 5, следует, что $$k$$ должно делиться на 5.

Общее количество доступных чётных чисел $$ > -40$$ равно 39 (от -38 до 38).

Общее количество доступных чисел, делящихся на 5, $$ > -40$$ равно 15 (от -35 до 35).

Если $$k$$ — самое большое число на синей карте, то $$k$$ должно быть одним из чисел, делящихся на 5.

Если $$2s$$ — самое большое число на красной карте, то $$2s$$ должно быть одним из чётных чисел.

Рассмотрим максимальное возможное значение $$s$$.

Если $$k=10$$, $$s$$ может быть не более 5 (т.к. $$2s < k$$, $$2s \neq k$$).

Если $$k=15$$, $$s$$ может быть не более 7 (т.к. $$2s < k$$, $$2s \neq k$$).

Если $$k=20$$, $$s$$ может быть не более 9 (т.к. $$2s < k$$, $$2s \neq k$$).

Если $$k=25$$, $$s$$ может быть не более 12 (т.к. $$2s < k$$, $$2s \neq k$$).

Если $$k=30$$, $$s$$ может быть не более 14 (т.к. $$2s < k$$, $$2s \neq k$$).

Если $$k=35$$, $$s$$ может быть не более 17 (т.к. $$2s < k$$, $$2s \neq k$$).

Если $$k=40$$, $$s$$ может быть не более 19 (т.к. $$2s < k$$, $$2s \neq k$$).

Если $$k=45$$, $$s$$ может быть не более 22 (т.к. $$2s < k$$, $$2s \neq k$$).

Если $$k=50$$, $$s$$ может быть не более 24 (т.к. $$2s < k$$, $$2s \neq k$$).

Если $$k=55$$, $$s$$ может быть не более 27 (т.к. $$2s < k$$, $$2s \neq k$$).

Если $$k=60$$, $$s$$ может быть не более 29 (т.к. $$2s < k$$, $$2s \neq k$$).

Если $$k > 60$$, то $$2s$$ может быть равно $$60$$, значит $$s=30$$. Но $$k$$ должно делиться на 5.

Наибольшее число, делящееся на 5, $$ > -40$$ и $$ \neq 60$$ (если $$2s=60$$), это 55.

Пусть $$k = 55$$. Тогда $$2s < 55$$, $$2s$$ — чётное. Максимальное чётное число меньше 55 — это 54. $$2s = 54 \rightarrow s = 27$$.

Таким образом, $$s=27$$ возможно, если $$k=55$$.

Ответ: 27.