19. (3балл) Найдите решение уравнения: 1+cosx +cos2x=0

Решение:

Используем формулу косинуса двойного угла \( \cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 \).

1. Подставим формулу в уравнение:
2. \( 1 + \cos x + (2\cos^2 x - 1) = 0 \)
3. \( \cos x + 2\cos^2 x = 0 \)
4. Вынесем \( \cos x \) за скобки:
5. \( \cos x (1 + 2\cos x) = 0 \)
6. Теперь приравняем каждый множитель к нулю:

Случай 1:

• \( \cos x = 0 \)
• \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \) — целое число.

Случай 2:

• \( 1 + 2\cos x = 0 \)
• \( 2\cos x = -1 \)
• \( \cos x = -\frac{1}{2} \)
• \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

Таким образом, уравнение имеет два семейства решений.

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \) и \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \), где \( n \) и \( k \) — целые числа.