19.2 Укажите неравенство, которое не имеет решений.

Решение:

Чтобы определить, какое из квадратных неравенств не имеет решений, найдём дискриминанты для каждого из них. Квадратное неравенство вида \( ax^2 + bx + c < 0 \) или \( ax^2 + bx + c > 0 \) не имеет решений, если дискриминант \( D = b^2 - 4ac \) отрицателен, а коэффициент \( a \) положителен (для \( > 0 \)) или отрицателен (для \( < 0 \)).

1) \( x^2 + x - 29 > 0 \)

Здесь \( a = 1 \) (положительный), \( b = 1 \), \( c = -29 \).

Дискриминант: \( D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-29) = 1 + 116 = 117 \). Так как \( D > 0 \), это неравенство имеет решения.

2) \( x^2 + x - 29 < 0 \)

Здесь \( a = 1 \) (положительный), \( b = 1 \), \( c = -29 \).

Дискриминант: \( D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-29) = 1 + 116 = 117 \). Так как \( D > 0 \), это неравенство имеет решения.

3) \( x^2 + x + 29 > 0 \)

Здесь \( a = 1 \) (положительный), \( b = 1 \), \( c = 29 \).

Дискриминант: \( D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 29 = 1 - 116 = -115 \). Так как \( D < 0 \) и \( a > 0 \), ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось Ох. Значит, все значения \( x^2 + x + 29 \) положительны, и неравенство \( x^2 + x + 29 > 0 \) имеет решения (любые действительные числа).

4) \( x^2 + x + 29 < 0 \)

Здесь \( a = 1 \) (положительный), \( b = 1 \), \( c = 29 \).

Дискриминант: \( D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 29 = 1 - 116 = -115 \). Так как \( D < 0 \) и \( a > 0 \), парабола \( y = x^2 + x + 29 \) полностью лежит выше оси Ох. Это значит, что \( x^2 + x + 29 \) всегда больше нуля и никогда не может быть меньше нуля. Следовательно, это неравенство не имеет решений.

Ответ: 4) \( x^2 + x + 29 < 0 \).