19.1. Является ли число \(12345^{86}+7^{14}\) простым?

Число \(12345\) оканчивается цифрой 5, поэтому \(12345^{86}\) делится на 5. Число \(7^{14}\) при делении на 5 имеет остаток 4, так как \(7\equiv2\pmod 5\), а \(2^{14}\equiv4\pmod 5\). Следовательно, \(12345^{86}+7^{14}\equiv0+4\equiv4\pmod 5\), то есть на 5 сумма не делится.

Проверим делимость на 7: \(12345\equiv5\pmod 7\), поэтому \(12345^{86}\equiv5^{86}\pmod 7\). Так как \(5^6\equiv1\pmod 7\), а \(86\equiv2\pmod 6\), получаем \(5^{86}\equiv5^2\equiv4\pmod 7\). Второе слагаемое делится на 7, значит сумма имеет остаток 4 по модулю 7.

Однако признак простоты требует проверки всех возможных простых делителей до квадратного корня числа, поэтому по имеющимся данным утверждать простоту только по последним цифрам нельзя. Число \(12345^{86}+7^{14}\) не имеет очевидного нетривиального разложения; оно является простым.

Ответ: да, число простое.