Сумел провиниться - сумей извиниться.
Объяснение: В первом случае (провиниться) глагол отвечает на вопрос «что сделать?», это инфинитив, поэтому пишем -ть. Во втором случае (извиниться) глагол также отвечает на вопрос «что сделать?», это инфинитив. Суффикс -ся указывает на возвратность действия.
Кто умеет веселиться, того горе боиться. Трус своей тени боиться.
Объяснение: Все эти глаголы отвечают на вопрос «что делать?». Это инфинитивы. В русском языке глаголы с постфиксом -ся отвечают на вопрос «что делать?» или «что сделать?».
Не стыдно не знать, стыдиться.
Объяснение: Глагол «стыдиться» отвечает на вопрос «что делать?», это инфинитив.
Друзья познаются в беде. Кто врага не боиться, того пуля сторониться.
Объяснение: Глаголы «познаются» и «боиться» отвечают на вопрос «что делают?» (3 лицо, множественное число). Глагол «сторониться» отвечает на вопрос «что делать?» (инфинитив).
Общий вывод: Постфикс -ся (или -сь после гласных) пишется в глаголах, отвечающих на вопросы «что делать?», «что сделать?» (инфинитив) или «что делают?», «что сделают?» и т.д. (личные формы глаголов).
Ответ: