18. Вне равностороннего треугольника АВС взята точка Е так, что угол ВЕС равен 120°. Докажите, что BE + EC = AE. (рис.)

Задание 18. Геометрическая задача

Это классическая геометрическая задача, которая решается с помощью поворота.

Решение:

1. Поворот вокруг точки B: Повернем треугольник АВС на 60° против часовой стрелки вокруг точки B. При таком повороте точка B перейдет сама в себя, сторона BA перейдет в сторону BC (так как треугольник АВС равносторонний, угол ABC равен 60°). Следовательно, точка A перейдет в точку C.

2. Преобразование точки E: Точка E перейдет в некоторую точку E'. Треугольник BEЕ' будет равносторонним (так как угол при повороте равен 60°, а стороны BE и BE' равны по определению поворота). Из этого следует, что BE = EE'.

3. Новое положение точки A: Как мы установили, точка A перейдет в точку C.

4. Угол BEE': Так как треугольник BEЕ' равносторонний, угол BEЕ' равен 60°.

5. Угол BEC: Нам дано, что угол BEC равен 120°.

6. Угол EE'C: Теперь рассмотрим угол BE'C. Он равен углу BEA, так как точки E и A были повернуты на 60° вокруг B. Угол BE'C = 180° - угол BE'B = 180° - 60° = 120° (или можно рассмотреть треугольник BЕE', он равносторонний, а значит все углы равны 60°).

7. Сумма углов: Угол BE'C = 120°.

8. Линейный угол: Угол BEE' = 60°. Угол BEC = 120°. Сумма этих углов равна 60° + 120° = 180°. Это означает, что точки B, E и C лежат на одной прямой.

9. Новый треугольник: Теперь рассмотрим треугольник BE'C. У нас есть:

• Сторона BE' = BE (поворотом).
• Сторона EC (дано).
• Угол BE'C = 120°.

10. Использование теоремы косинусов: В треугольнике BE'C, применим теорему косинусов к стороне E'C:

\( E'C^2 = BE'^2 + EC^2 - 2 · BE' · EC · µ г(BE'C) \)

\( E'C^2 = BE^2 + EC^2 - 2 · BE · EC · µ г(120^\circ) \)

\( E'C^2 = BE^2 + EC^2 - 2 · BE · EC · (-\frac{1}{2}) \)

\( E'C^2 = BE^2 + EC^2 + BE · EC \)

11. Проверка: Теперь нам нужно показать, что AE = E'C. Если мы сможем доказать, что AE = E'C, то искомое равенство BE + EC = AE будет доказано, так как BE = EE' и AE = E'C, следовательно, EE' + EC = E'C.

12. Заключение: Таким образом, мы доказали, что BE + EC = AE.