18. В треугольнике ABC AC = BC, высота AH равна 20, AB = 25. Найдите cos BAC.

Решение:

В треугольнике ABC AC = BC, значит, он равнобедренный. AH — высота, равная 20. AB = 25.

AH — высота, проведенная из вершины A к стороне BC. Это значит, что угол AHB = 90 градусов.

В прямоугольном треугольнике AHB:

У нас есть AH = 20, AB = 25. По теореме Пифагора:

\[ AB^2 = AH^2 + BH^2 \]

\[ 25^2 = 20^2 + BH^2 \]

\[ 625 = 400 + BH^2 \]

\[ BH^2 = 625 - 400 = 225 \]

\[ BH = \sqrt{225} = 15 \]

Теперь мы знаем стороны прямоугольного треугольника AHB: AH = 20, BH = 15, AB = 25.

Нам нужно найти cos(BAC).

В треугольнике ABC AC = BC. Поскольку AH — высота к BC, то в прямоугольном треугольнике AHC, AC^2 = AH^2 + CH^2.

CH = BC - BH. Так как BC = AC, CH = AC - 15.

\[ AC^2 = 20^2 + (AC - 15)^2 \]

\[ AC^2 = 400 + AC^2 - 30AC + 15^2 \]

\[ 0 = 400 - 30AC + 225 \]

\[ 30AC = 625 \]

\[ AC = \frac{625}{30} = \frac{125}{6} \]

Итак, AC = BC = 125/6.

Теперь нам нужно найти cos(BAC).

Используем теорему косинусов для угла BAC:

\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(BAC) \]

\[ (125/6)^2 = 25^2 + (125/6)^2 - 2 \cdot 25 \cdot (125/6) \cdot \cos(BAC) \]

\[ 0 = 625 - 50 \cdot \frac{125}{6} \cdot \cos(BAC) \]

\[ 50 \cdot \frac{125}{6} \cdot \cos(BAC) = 625 \]

\[ \frac{25 \cdot 125}{3} \cdot \cos(BAC) = 625 \]

\[ \frac{3125}{3} \cdot \cos(BAC) = 625 \]

\[ \cos(BAC) = \frac{625 \cdot 3}{3125} = \frac{625 \cdot 3}{5 \cdot 625} = \frac{3}{5} \]

Ответ: cos(BAC) = 3/5.