18. В трапеции ABCD известно, что АВ = CD, ∠BDA = 18° и ∠BDC = 97°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Определим тип трапеции:

По условию \( AB = CD \). Это означает, что трапеция \( ABCD \) является равнобедренной.

2. Свойства равнобедренной трапеции:

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, и диагонали равны. Также, боковые стороны равны.

3. Найдем угол \( \angle BCD \):

Диагональ \( BD \) делит угол \( \angle BDC = 97^{\circ} \).

В равнобедренной трапеции углы при нижнем основании равны. Рассмотрим \( \triangle BCD \). Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle CBD + \angle BCD + \angle BDC = 180^{\circ} \)

\( \angle CBD + \angle BCD + 97^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle CBD + \angle BCD = 180^{\circ} - 97^{\circ} = 83^{\circ} \)

4. Найдем \( \angle ABC \):

Так как \( ABCD \) — равнобедренная трапеция, углы при основании \( BC \) равны: \( \angle ABC = \angle BCD \).

5. Найдем \( \angle ADB \) и \( \angle CBD \):

В равнобедренной трапеции накрест лежащие углы при пересечении диагоналей равны, и углы, образованные диагональю и боковой стороной, имеют определённые соотношения. Однако, проще воспользоваться тем, что \( \angle BDA = 18^{\circ} \) дано.

В равнобедренной трапеции углы при основании \( AD \) равны: \( \angle DAB = \angle CDA \).

\( \angle CDA = \angle BDA + \angle BDC = 18^{\circ} + 97^{\circ} = 115^{\circ} \).

Тогда \( \angle DAB = 115^{\circ} \).

6. Найдем \( \angle ABD \):

Рассмотрим \( \triangle ABD \). Сумма углов равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle ABD + \angle BDA + \angle DAB = 180^{\circ} \)

\( \angle ABD + 18^{\circ} + 115^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle ABD + 133^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle ABD = 180^{\circ} - 133^{\circ} \)

\( \angle ABD = 47^{\circ} \)

Проверка:

В \( \triangle BCD \): \( \angle BCD = \angle ABC \). Углы при основании \( BC \) равны. \( \angle BCD = \angle ABC \).

\( \angle ABC = \angle ABD + \angle CBD \).

В равнобедренной трапеции диагонали равны: \( AC = BD \).

Также, в равнобедренной трапеции углы при основании \( BC \) равны, т.е. \( \angle ABC = \angle DCB \).

Из \( \triangle BCD \): \( \angle CBD + \angle BCD = 83^{\circ} \).

У нас \( \angle ABD = 47^{\circ} \), \( \angle BDA = 18^{\circ} \), \( \angle DAB = 115^{\circ} \).

\( \angle CDA = 115^{\circ} \), \( \angle BDC = 97^{\circ} \).

\( \angle ADB = \angle CDA - \angle BDC = 115^{\circ} - 97^{\circ} = 18^{\circ} \). Это совпадает с условием.

Теперь найдём \( \angle CBD \).

В \( \triangle BCD \), \( \angle BCD = \angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 47^{\circ} + \angle CBD \).

\( \angle CBD + (47^{\circ} + \angle CBD) = 83^{\circ} \)

\( 2 \angle CBD = 83^{\circ} - 47^{\circ} \)

\( 2 \angle CBD = 36^{\circ} \)

\( \angle CBD = 18^{\circ} \).

Тогда \( \angle ABC = \angle BCD = 47^{\circ} + 18^{\circ} = 65^{\circ} \).

Углы при основании \( BC \) равны \( 65^{\circ} \).

Углы при основании \( AD \) равны \( 115^{\circ} \).

\( 65^{\circ} + 115^{\circ} = 180^{\circ} \). Это верно для трапеции.

Ответ: 47