18. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагональ АС является биссектрисой угла А, равного 45°. Найдите длину диагонали BD, если меньшее основание трапеции равно 10√2. Запишите решение и ответ.

1. Так как AC - биссектриса угла A, то ∠BAC = ∠CAD = 45°/2 = 22.5°. В прямоугольной трапеции BC || AD, поэтому ∠BCA = ∠CAD = 22.5° (как накрест лежащие).
2. В треугольнике ABC: ∠ABC = 90°, ∠BAC = 22.5°, ∠BCA = 22.5°. Следовательно, треугольник ABC равнобедренный с AB = BC. Так как BC - меньшее основание, то BC = 10√2. Значит, AB = 10√2.
3. В прямоугольном треугольнике ABD: AB = 10√2, AD - большее основание. По теореме Пифагора: BD² = AB² + AD². Для нахождения AD, рассмотрим треугольник ACD. ∠ACD = 90° - ∠BCA = 90° - 22.5° = 67.5°. В треугольнике ACD: ∠CAD = 22.5°, ∠ADC = 90°, ∠ACD = 67.5°. Используя тангенс угла CAD: tg(22.5°) = CD/AD. CD = AB = 10√2. tg(22.5°) = √2 - 1. AD = CD / tg(22.5°) = 10√2 / (√2 - 1) = 10√2(√2 + 1) = 20 + 10√2.
4. BD² = (10√2)² + (20 + 10√2)² = 200 + (400 + 400√2 + 200) = 200 + 600 + 400√2 = 800 + 400√2. BD = √(800 + 400√2) = √(400(2 + √2)) = 20√(2 + √2).