18. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ АС является биссектрисой угла А, равного 45°. Найдите длину диагонали BD, если меньшее основание трапеции равно 10√2.

Так как AC - биссектриса угла A, то $$\angle BAC = \angle CAD = 45°/2 = 22.5°$$. В прямоугольной трапеции BC || AD, поэтому $$\angle BCA = \angle CAD = 22.5°$$ (как накрест лежащие углы). В треугольнике ABC $$\angle ABC = 90°$$, $$\angle BAC = 22.5°$$, $$\angle BCA = 22.5°$$. Следовательно, треугольник ABC равнобедренный с AB = BC. Так как BC - меньшее основание, то $$BC = 10\sqrt{2}$$. Значит, $$AB = 10\sqrt{2}$$. В прямоугольном треугольнике ABD по теореме Пифагора $$BD^2 = AB^2 + AD^2$$. Так как трапеция прямоугольная, проведем высоту BH из B на AD. Тогда H совпадает с A, и BH = AB. В прямоугольном треугольнике ABС, $$AC = \sqrt{AB^2+BC^2} = \sqrt{(10\sqrt{2})^2+(10\sqrt{2})^2} = \sqrt{200+200} = \sqrt{400} = 20$$. В прямоугольной трапеции ABCD, AD = BC + CD. Так как AC - биссектриса, то AD = AB. Значит, $$AD = 10\sqrt{2}$$. В прямоугольном треугольнике ABD, $$BD = \sqrt{AB^2+AD^2} = \sqrt{(10\sqrt{2})^2+(10\sqrt{2})^2} = \sqrt{200+200} = \sqrt{400} = 20$$.