18. Тип 17 № 9800 Миша, Петя и Вася играли в снежки. Первым кинул снежок Вася и попал в Мишу. Каждый мальчик в ответ на каждый попавший в него снежок кидает три снежка (не обязательно в того, кто в него попал). Некоторые снежки ни в кого не попали. Всего было семь попаданий. Сколько снежков ни в кого не попало? Запишите решение и ответ.

Пошаговое решение:

• Вася кинул 1 снежок, который попал в Мишу.
• Так как в Мишу попал 1 снежок, Миша в ответ кинул 3 снежка.
• Известно, что всего было 7 попаданий. 1 попадание было от Васи. Значит, остальные 6 попаданий пришлись на снежки, брошенные Мишей и Петей.
• Каждый мальчик кидает 3 снежка в ответ на каждый попавший в него снежок.
• Предположим, что Петя не кидал снежки (так как не сказано, что в него попадали).
• Если бы в Мишу попал только 1 снежок (Васин), то он бы кинул 3 снежка.
• Если бы в Мишу попали все 7 снежков, то он бы кинул 7*3=21 снежок.
• Если бы в Мишу попал 1 снежок (Васин), и он кинул 3 снежка, а Петя кинул 0 снежков, то всего было бы 1+3 = 4 брошенных снежка, и 1+3=4 попадания. Но было 7 попаданий.
• Если бы в Мишу попал 1 снежок (Васин), и он кинул 3 снежка, а Петя попал 2 раза, то всего было бы 1+3+2 = 6 брошенных снежков, и 1+3+2 = 6 попаданий. Но было 7 попаданий.
• Рассмотрим общий случай. Пусть Вася кинул 1 снежок (попал в Мишу). Миша кинул 3 снежка. Пусть Петя кинул X снежков. Известно, что всего было 7 попаданий.
• Общее количество брошенных снежков = 1 (Вася) + 3 (Миша) + X (Петя).
• Общее количество попаданий = 7.
• Каждый попавший снежок инициирует 3 броска.
• Пусть N - общее число брошенных снежков.
• Пусть P - общее число попаданий, P = 7.
• Пусть M - число мальчиков, M = 3 (Миша, Петя, Вася).
• Вася кинул 1 снежок, попал в Мишу.
• Миша получил 1 попадание, значит, он кинул 1 * 3 = 3 снежка.
• Осталось 7 - 1 (Вася) - 3 (Миша) = 3 попадания.
• Эти 3 попадания должны быть от Пети.
• Значит, Петя кинул 3 снежка.
• Общее количество брошенных снежков = 1 (Вася) + 3 (Миша) + 3 (Петя) = 7 снежков.
• Однако, условие гласит: "Некоторые снежки ни в кого не попали". Это значит, что количество брошенных снежков больше количества попаданий.
• Пусть K - количество снежков, которые ни в кого не попали.
• Общее количество брошенных снежков = Количество попаданий + K.
• Количество брошенных снежков = 7 + K.
• Вася кинул 1 снежок (попал).
• Миша получил 1 попадание, значит, он кинул 3 снежка.
• Пусть Петя кинул Y снежков.
• Из 7 попаданий: 1 от Васи, остальные 6 - от Миши и Пети.
• Если Миша кинул 3 снежка, значит, он получил 3/3 = 1 попадание.
• Если всего 7 попаданий, и 1 от Васи, и 1 от Миши, то 7 - 1 - 1 = 5 попаданий должны быть от Пети.
• Но каждый брошенный снежок инициирует 3 броска.
• Обозначим:
• В - снежки, брошенные Васей
• М - снежки, брошенные Мишей
• П - снежки, брошенные Петей
• Попадания:
• Вася кинул 1 снежок, попал в Мишу.
• Миша получил 1 попадание, поэтому бросил 3 снежка.
• Всего было 7 попаданий. 1 (Вася) + 3 (Миша) = 4 попадания.
• Осталось 7 - 4 = 3 попадания. Эти 3 попадания должны быть от Пети.
• Значит, Петя бросил 3 снежка.
• Общее количество брошенных снежков = 1 (Вася) + 3 (Миша) + 3 (Петя) = 7 снежков.
• В этом случае, количество брошенных снежков равно количеству попаданий, что противоречит условию "Некоторые снежки ни в кого не попали".
• Следовательно, в Мишу попало больше одного снежка.
• Пусть в Мишу попало N снежков (брошенных Васей и/или Петей).
• Миша бросил 3*N снежков.
• Пусть в Петю попало P снежков (брошенных Васей и/или Мишей).
• Петя бросил 3*P снежков.
• Вася бросил 1 снежок.
• Общее число попаданий = N (в Мишу) + P (в Петю) + K (в Васю). По условию, K = 0, т.к. первый кинул Вася и попал в Мишу.
• Общее число попаданий = 7.
• Вася кинул 1 снежок.
• Миша получил 1 попадание (от Васи). Миша кинул 3 снежка.
• Предположим, что в Петю попал 1 снежок (от Миши). Петя кинул 3 снежка.
• Тогда попаданий = 1 (в Мишу) + 1 (в Петю) = 2. Это не 7.
• Пусть X - количество снежков, брошенных Васей, которые попали. X = 1.
• Пусть Y - количество снежков, брошенных Мишей, которые попали.
• Пусть Z - количество снежков, брошенных Петей, которые попали.
• Общее число попаданий = X + Y + Z = 7.
• Миша получил X попаданий, поэтому бросил 3*X снежков.
• Петя получил Y попаданий, поэтому бросил 3*Y снежков.
• Вася бросил 1 снежок.
• Общее число брошенных снежков = 1 (Вася) + 3*X (Миша) + 3*Y (Петя).
• Число снежков, которые ни в кого не попали = (1 + 3*X + 3*Y) - 7.
• Известно, что Вася попал в Мишу. То есть, Миша получил хотя бы 1 попадание. X >= 1.
• Предположим, что в Мишу попал только 1 снежок (Васин). X=1.
• Тогда 1 + Y + Z = 7 => Y + Z = 6.
• Миша бросил 3*1 = 3 снежка.
• Петя бросил 3*Y снежков.
• Общее число брошенных снежков = 1 + 3 + 3*Y = 4 + 3*Y.
• Количество не попавших снежков = (4 + 3*Y) - 7 = 3*Y - 3.
• Так как Y - число попаданий, Y >= 0.
• Y + Z = 6. Так как Z - число попаданий, Z >= 0.
• Чтобы количество не попавших снежков было > 0, нужно 3*Y - 3 > 0 => 3*Y > 3 => Y > 1.
• Если Y = 2, то Z = 6 - 2 = 4. Но Петя бросает снежки только если в него попали. Количество попаданий в Петю = Y. Значит, Петя кинул 3*Y снежков.
• Если Y=2, то Петя кинул 3*2 = 6 снежков.
• Z = 4 - это число попаданий, брошенных Петей.
• Это приводит к противоречию, так как количество попаданий не может быть больше количества брошенных снежков.
• Переформулируем:
• 1. Вася кинул 1 снежок, попал в Мишу. (1 попадание)
• 2. Миша получил 1 попадание, поэтому бросил 3 снежка.
• 3. Всего было 7 попаданий.
• 4. Пусть k - количество снежков, которые ни в кого не попали.
• 5. Общее количество брошенных снежков = 7 + k.
• 6. Пусть в Мишу попало $$N_M$$ снежков.
• 7. Пусть в Петю попало $$N_P$$ снежков.
• 8. Пусть в Васю попало $$N_V$$ снежков.
• $$N_M + N_P + N_V = 7$$.
• Вася кинул 1 снежок, который попал в Мишу. Значит, $$N_M ≥ 1$$, и $$N_V = 0$$.
• $$N_M + N_P = 7$$.
• Миша получил $$N_M$$ попаданий, поэтому бросил $$3 imes N_M$$ снежков.
• Петя получил $$N_P$$ попаданий, поэтому бросил $$3 imes N_P$$ снежков.
• Вася бросил 1 снежок.
• Общее количество брошенных снежков = 1 (Вася) + $$3 imes N_M$$ (Миша) + $$3 imes N_P$$ (Петя).
• Количество не попавших снежков, k = (1 + $$3 imes N_M$$ + $$3 imes N_P$$) - 7.
• k = $$3 imes (N_M + N_P) - 6$$.
• Подставляем $$N_M + N_P = 7$$:
• k = $$3 imes 7 - 6 = 21 - 6 = 15$$.
• Итак, 15 снежков ни в кого не попали.
• Проверим:
• Пусть в Мишу попало 3 снежка ($$N_M=3$$), и в Петю попало 4 снежка ($$N_P=4$$). Всего 7 попаданий.
• Миша получил 3 попадания, бросил 3 * 3 = 9 снежков.
• Петя получил 4 попадания, бросил 3 * 4 = 12 снежков.
• Вася бросил 1 снежок.
• Общее количество брошенных снежков = 1 + 9 + 12 = 22.
• Количество не попавших снежков = 22 (брошенных) - 7 (попавших) = 15.
• Это соответствует расчету.

Ответ: 15