18 Тип 17 № 12788 От озерной пристани отошла моторная лодка со скоростью 25 км/ч, а одновременно с этим из порта вышел теплоход «Комета» со скоростью 20 км/ч. Расстояние между пристанью и портом равно 180 км. Через какое время расстояние между лодкой и теплоходом в первый раз изменится вдвое? Найдите все возможные варианты.

Решение:

• Пусть t — время в часах, прошедшее с начала движения.
• Расстояние, пройденное лодкой от пристани: \( S_{лодка} = 25t \) км.
• Расстояние, пройденное теплоходом от порта: \( S_{теплоход} = 20t \) км.
• Начальное расстояние между лодкой и теплоходом равно расстоянию между пристанью и портом, то есть 180 км.
• Рассмотрим два случая движения лодки и теплохода:
• Случай 1: Лодка и теплоход движутся навстречу друг другу.
• В этом случае расстояние между ними в момент времени t будет равно: \( d(t) = 180 - (S_{лодка} + S_{теплоход}) = 180 - (25t + 20t) = 180 - 45t \).
• Мы ищем время, когда расстояние между ними изменится вдвое, то есть станет 180 / 2 = 90 км.
• \( 180 - 45t = 90 \).
• \( 45t = 180 - 90 \).
• \( 45t = 90 \).
• \( t = \frac{90}{45} = 2 \) часа.
• Случай 2: Лодка и теплоход движутся в противоположных направлениях (относительно друг друга, но от пристани/порта).
• Если лодка отходит от пристани, а теплоход от порта, и они движутся в одном направлении (например, от пристани к порту), то расстояние между ними будет: \( d(t) = 180 - (25t - 20t) = 180 - 5t \) (если лодка догоняет теплоход) или \( d(t) = 180 + (20t - 25t) = 180 - 5t \) (если теплоход удаляется от лодки).
• Однако, более вероятно, что лодка и теплоход движутся в одном направлении, но из разных точек. Пусть оба движутся вправо. Лодка от пристани (поз. 0), теплоход от порта (поз. 180).
• Расстояние лодки: \( 25t \). Расстояние теплохода: \( 180 + 20t \).
• Расстояние между ними: \( |(180 + 20t) - 25t| = |180 - 5t| \).
• Нам нужно, чтобы это расстояние стало 90 км.
• \( |180 - 5t| = 90 \).
• Два варианта:
• а) \( 180 - 5t = 90 \) => \( 5t = 90 \) => \( t = 18 \) часов.
• б) \( 180 - 5t = -90 \) => \( 5t = 270 \) => \( t = 54 \) часа.
• Случай 3: Лодка и теплоход движутся в одном направлении, и один из них догоняет другого.
• Пусть лодка стартует из точки А, а теплоход из точки Б, и оба движутся в одном направлении.
• Вариант 3.1: Лодка стартует из пристани, теплоход из порта, и они движутся в направлении от пристани к порту.
• Положение лодки: \( P_л = 25t \). Положение теплохода: \( P_т = 180 + 20t \).
• Расстояние между ними: \( |P_т - P_л| = |180 + 20t - 25t| = |180 - 5t| \).
• Это расстояние должно стать 90 км.
• \( |180 - 5t| = 90 \).
• \( 180 - 5t = 90 \) или \( 180 - 5t = -90 \).
• \( 5t = 90 \) => \( t = 18 \) часов.
• \( 5t = 270 \) => \( t = 54 \) часа.
• Вариант 3.2: Теплоход стартует из порта, лодка из пристани, и они движутся в направлении от порта к пристани.
• Положение лодки: \( P_л = 25t \). Положение теплохода: \( P_т = 180 - 20t \).
• Расстояние между ними: \( |P_л - P_т| = |25t - (180 - 20t)| = |45t - 180| \).
• Это расстояние должно стать 90 км.
• \( |45t - 180| = 90 \).
• \( 45t - 180 = 90 \) или \( 45t - 180 = -90 \).
• \( 45t = 270 \) => \( t = 6 \) часов.
• \( 45t = 90 \) => \( t = 2 \) часа.
• Проверка:
• Если t = 2 часа:
• Лодка прошла \( 25 imes 2 = 50 \) км.
• Теплоход прошел \( 20 imes 2 = 40 \) км.
• Если они движутся навстречу, то расстояние между ними \( 180 - (50 + 40) = 180 - 90 = 90 \) км. Это первый возможный вариант.
• Если лодка и теплоход движутся в противоположных направлениях (от пристани и порта, в одну сторону), и теплоход удаляется от лодки, а лодка его догоняет: \( |180 - 5 imes 2| = |180 - 10| = 170 eq 90 \).
• Если лодка и теплоход движутся в одном направлении, и теплоход идет от порта к пристани, а лодка от пристани к порту: \( |45 imes 2 - 180| = |90 - 180| = |-90| = 90 \) км. Это второй возможный вариант.
• Если t = 6 часов:
• Лодка прошла \( 25 imes 6 = 150 \) км.
• Теплоход прошел \( 20 imes 6 = 120 \) км.
• Если они движутся в одном направлении, и теплоход идет от порта к пристани, а лодка от пристани к порту: \( |45 imes 6 - 180| = |270 - 180| = 90 \) км. Это третий возможный вариант.
• Если t = 18 часов:
• Лодка прошла \( 25 imes 18 = 450 \) км.
• Теплоход прошел \( 20 imes 18 = 360 \) км.
• Если лодка стартует из пристани, теплоход из порта, и оба движутся в одном направлении (от пристани к порту): \( |180 - 5 imes 18| = |180 - 90| = 90 \) км. Это четвертый возможный вариант.

Ответ: 2 часа, 6 часов, 18 часов.