18. Решите уравнение \(\sqrt{3 + 2x} = x.\) Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней. 19. Найдите значение выражения \(\frac{\sqrt[3]{m} \cdot \sqrt{m}}{\sqrt[5]{m^2}}\, при \(m = 125\). 20. Найдите значение выражения \(\frac{\log_{9} \sqrt{8}}{\log_{9} 8}\). 21. Найдите значение выражения \((25^2 - 23^2) : 275\).

18. Решение уравнения \(\sqrt{3 + 2x} = x\)

1. Возведём обе части уравнения в квадрат: \( 3 + 2x = x^2 \).
2. Перенесём все члены в одну сторону: \( x^2 - 2x - 3 = 0 \).
3. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \).
4. Найдём корни: \( x_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3 \), \( x_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1 \).
5. Проверим корни. Для \( x = 3 \): \( \sqrt{3 + 2 \cdot 3} = \sqrt{9} = 3 \). Верно. Для \( x = -1 \): \( \sqrt{3 + 2 \cdot (-1)} = \sqrt{1} = 1 \). Но \( x = -1 \). Корень \( x = -1 \) не подходит.

Ответ: 3

19. Нахождение значения выражения \(\frac{\sqrt[3]{m} \cdot \sqrt{m}}{\sqrt[5]{m^2}}\, при \(m = 125\)

1. Представим корни в виде степеней: \( \frac{m^{1/3} \cdot m^{1/2}}{m^{2/5}} \).
2. Сложим степени в числителе: \( m^{1/3 + 1/2} = m^{5/6} \).
3. Разделим степени: \( m^{5/6 - 2/5} = m^{(25 - 12)/30} = m^{13/30} \).
4. Подставим \( m = 125 \): \( 125^{13/30} = (5^3)^{13/30} = 5^{3 \cdot 13/30} = 5^{39/30} = 5^{13/10} \).

Ответ: \(5^{13/10}\)

20. Нахождение значения выражения \(\frac{\log_{9} \sqrt{8}}{\log_{9} 8}\)

1. Используем свойство логарифма \( \log_b a^c = c \log_b a \): \( \log_9 \sqrt{8} = \log_9 8^{1/2} = \frac{1}{2} \log_9 8 \).
2. Подставим в исходное выражение: \( \frac{\frac{1}{2} \log_{9} 8}{\log_{9} 8} \).
3. Сократим \( \log_9 8 \): \( \frac{1}{2} \).

Ответ: 0.5

21. Нахождение значения выражения \((25^2 - 23^2) : 275\)

1. Используем формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \): \( 25^2 - 23^2 = (25 - 23)(25 + 23) = 2 \cdot 48 = 96 \).
2. Выполним деление: \( 96 : 275 \).

Ответ: \(\frac{96}{275}\)