§ 18. Работа. Мощность. Тепловое действие электрического тока 205 18.65. В электрической кастрюле необходимо за 10 мин довести до кипения и полностью испарить 1,0 л воды, начальная температура которой 20 °С. Какой длины нихромовый проводник нужно использовать в нагревательном элементе кастрюли, если площадь его поперечного сечения равна 0,50 мм²? Электрическая кастрюля имеет КПД 80% и работает от сети напряжением 120 В.

Дано:

\( t = 10 \text{ мин} = 600 \text{ с} \)

\( V = 1.0 \text{ л} = 0.001 \text{ м}^3 \)

\( \rho_{\text{воды}} = 1000 \text{ кг/м}^3 \)

\( c_{\text{воды}} = 4200 \text{ Дж/(кг} \cdot \text{°С)} \)

\( T_1 = 20 \text{ °С} \)

\( T_2 = 100 \text{ °С} \)

\( S = 0.50 \text{ мм}^2 = 0.50 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2 \)

\( \eta = 80\% = 0.8 \)

\( U = 120 \text{ В} \)

\( \rho_{\text{нихрома}} \approx 1.1 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м} \) (удельное сопротивление нихрома)

Найти: \( L \)

Решение:

1. Найдем массу воды:

\[ m = \rho_{\text{воды}} \cdot V = 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 0.001 \text{ м}^3 = 1 \text{ кг} \]

2. Найдем количество теплоты, необходимое для нагревания воды до кипения и испарения:

\[ Q_{\text{полн}} = Q_{\text{нагр}} + Q_{\text{исп}} = c_{\text{воды}} \cdot m \cdot (T_2 - T_1) + L_{\text{исп}} \cdot m \]

Здесь \( L_{\text{исп}} \) — удельная теплота парообразования воды (приблизительно \( 2.26 \cdot 10^6 \text{ Дж/кг} \)).

\( Q_{\text{полн}} = 4200 \text{ Дж/(кг} \cdot \text{°С)} \cdot 1 \text{ кг} \cdot (100 \text{ °С} - 20 \text{ °С}) + 2.26 \cdot 10^6 \text{ Дж/кг} \cdot 1 \text{ кг} \)

\[ Q_{\text{полн}} = 4200 \text{ Дж/°С} \cdot 80 \text{ °С} + 2.26 \cdot 10^6 \text{ Дж} = 336000 \text{ Дж} + 2260000 \text{ Дж} = 2596000 \text{ Дж} \]

3. Найдем полезную мощность, которая идет на нагрев воды:

\[ P_{\text{полн}} = \frac{Q_{\text{полн}}}{t} = \frac{2596000 \text{ Дж}}{600 \text{ с}} \approx 4326.7 \text{ Вт} \]

4. Найдем полную мощность, которую потребляет кастрюля, учитывая КПД:

\[ P_{\text{затр}} = \frac{P_{\text{полн}}}{\eta} = \frac{4326.7 \text{ Вт}}{0.8} \approx 5408.4 \text{ Вт} \]

5. Найдем сопротивление нагревательного элемента:

\[ R = \frac{U^2}{P_{\text{затр}}} = \frac{(120 \text{ В})^2}{5408.4 \text{ Вт}} = \frac{14400 \text{ В}^2}{5408.4 \text{ Вт}} \approx 2.66 \text{ Ом} \]

6. Найдем длину нихромового проводника, используя формулу сопротивления:

\[ R = \rho_{\text{нихрома}} \cdot \frac{L}{S} \]

\[ L = \frac{R \cdot S}{\rho_{\text{нихрома}}} = \frac{2.66 \text{ Ом} \cdot 0.50 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2}{1.1 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}} \]

\[ L = \frac{1.33 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}^2}{1.1 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}} \approx 1.21 \text{ м} \]

Ответ: Длина нихромового проводника составляет примерно 1.21 м.