§ 18. Работа. Мощность. Тепловое действие электрического тока. 18.65. В электрической кастрюле необходимо за 10 мин довести до кипения и полностью испарить 1,0 л воды, начальная температура которой 20 °С. Какой длины нихромовый проводник нужно использовать в нагревательном элементе кастрюли, если площадь его поперечного сечения равна 0,50 мм²? Электрическая кастрюля имеет КПД 80% и работает от сети напряжением 120 В.

Решение:

Для решения этой задачи нам понадобится формула для количества теплоты, выделяемой нагревательным элементом, и формула для мощности. Также нужно учесть КПД кастрюли.

Дано:

• Объём воды \( V = 1.0 \) л = \( 10^{-3} \) м³
• Масса воды \( m = \rho \cdot V = 1000 \text{ кг/м³} \cdot 10^{-3} \text{ м³} = 1 \text{ кг} \)
• Начальная температура \( t_1 = 20 \) °С
• Конечная температура (кипение) \( t_2 = 100 \) °С
• Время \( t = 10 \) мин = \( 600 \) с
• Площадь поперечного сечения \( S = 0.50 \text{ мм}² = 0.50 \cdot 10^{-6} \text{ м}² \)
• Напряжение сети \( U = 120 \) В
• КПД \( \eta = 80\% = 0.8 \)
• Удельная теплоёмкость воды \( c = 4200 \text{ Дж/(кг·°С)} \)
• Удельное сопротивление нихрома \( \rho_{нихрома} \approx 1.1 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} · \text{м} \)

Найти:

• Длина проводника \( L \)

Расчёт:

1. Найдем количество теплоты, необходимое для нагрева и испарения воды:
• Теплота для нагрева: \( Q_{нагрев} = c · m · (t_2 - t_1) = 4200 \text{ Дж/(кг·°С)} \cdot 1 \text{ кг} \cdot (100 \text{ °С} - 20 \text{ °С}) = 4200 \cdot 80 = 336000 \) Дж.
• Теплота для испарения: \( Q_{исп} = L · m \), где \( L \) — удельная теплота парообразования воды \( L = 2.3 · 10^6 \text{ Дж/кг} \).
• \( Q_{исп} = 2.3 · 10^6 \text{ Дж/кг} \cdot 1 \text{ кг} = 2.3 · 10^6 \text{ Дж} \).
• Общее количество теплоты, которое должна сообщить вода: \( Q_{воды} = Q_{нагрев} + Q_{исп} = 336000 \text{ Дж} + 2300000 \text{ Дж} = 2636000 \) Дж.
2. Найдем полезную мощность кастрюли:
• Полезная мощность \( P_{пол} = \frac{Q_{воды}}{t} = \frac{2636000 \text{ Дж}}{600 \text{ с}} \approx 4393.33 \) Вт.
3. Найдем полную мощность, которую потребляет кастрюля, учитывая КПД:
• \( P_{пол} = \eta · P_{полн} \), следовательно \( P_{полн} = \frac{P_{пол}}{\eta} = \frac{4393.33 \text{ Вт}}{0.8} \approx 5491.67 \) Вт.
4. Найдем сопротивление нагревательного элемента:
• Мощность связана с сопротивлением и напряжением формулой \( P = \frac{U^2}{R} \).
• \( R = \frac{U^2}{P_{полн}} = \frac{(120 \text{ В})²}{5491.67 \text{ Вт}} = \frac{14400}{5491.67} \approx 2.62 \) Ом.
5. Найдем длину нихромового проводника:
• Сопротивление проводника выражается формулой \( R = \rho_{нихрома} · \frac{L}{S} \).
• Выразим длину \( L \): \( L = \frac{R · S}{\rho_{нихрома}} \).
• \( L = \frac{2.62 \text{ Ом} \cdot 0.50 \cdot 10^{-6} \text{ м}²}{1.1 · 10^{-6} \text{ Ом} · \text{м}} \approx \frac{1.31}{1.1} \approx 1.19 \) м.

Ответ: Длина нихромового проводника составляет приблизительно 1.19 м.