18. Постройте график функции $y=\begin{cases}2-|x|,\quad x\le 4,\\-x^2+10x-25,\quad x>4.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=mx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Question

Вопрос: $Фото задания: 18. Постройте график функции $y=\begin{cases}2-|x|,\quad x\le 4,\\-x^2+10x-25,\quad x>4.\end{cases}$ Определите, при…$ Фото задания

18. Постройте график функции $y=\begin{cases}2-|x|,\quad x\le 4,\\-x^2+10x-25,\quad x>4.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=mx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Accepted Answer

График состоит из двух частей:

при $x\le 4$: график функции $y=2-|x|$;
при $x>4$: график параболы $y=-x^2+10x-25=-(x-5)^2$.

Рассмотрим пересечения прямой $y=mx$ с первой частью графика.

При $x\le0$: $mx=2+x$, поэтому $x=\frac{2}{m-1}$. Такой корень существует при $m<1$.
При $0\le x\le4$: $mx=2-x$, поэтому $x=\frac{2}{m+1}$. Такой корень существует при $m\ge-\frac12$.

Для второй части выразим угловой коэффициент через абсциссу точки пересечения:

\[m=\frac{-x^2+10x-25}{x}=-x+10-\frac{25}{x},\quad x>4.\]

Эта функция возрастает на $(4;5)$, убывает на $(5;+\infty)$, причём её максимум равен $0$ при $x=5$, а при $x\to4+$ значение стремится к $-\frac14$.

Подсчёт количества пересечений показывает:

при $m<1$ прямая имеет как минимум две общие точки с первой частью графика либо дополнительные точки со второй частью;
при $m>1$ общих точек нет;
при $m=1$ уравнение с первой частью даёт единственную точку $x=1$, а со второй частью пересечений нет.

При $m=1$: $y=x$, и общая точка равна $(1;1)$.

Ответ: $m=1$.

18. Постройте график функции \(y=\begin{cases}2-|x|,\quad x\le 4,\\-x^2+10x-25,\quad x>4.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=mx\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ: