18. Найти предел функции: lim(x->5) (x^2 - 25) / (x^2 - 6x + 5)

Решение:

Задан предел функции \( \lim_{x\to 5} \frac{x^2 - 25}{x^2 - 6x + 5} \).

При подстановке \( x = 5 \) получаем неопределённость вида \( \frac{0}{0} \). Преобразуем числитель и знаменатель:

Числитель: \( x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5) \) (разность квадратов).

Знаменатель: \( x^2 - 6x + 5 \). Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 6x + 5 = 0 \). По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 6 \) и \( x_1 \cdot x_2 = 5 \). Корни: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = 5 \).

Следовательно, знаменатель можно разложить на множители: \( x^2 - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5) \).

Теперь подставим разложенные выражения в предел:

\[ \lim_{x\to 5} \frac{(x - 5)(x + 5)}{(x - 1)(x - 5)} \]

Сократим общий множитель \( (x - 5) \) (так как \( x \to 5 \), то \( x \neq 5 \)):

\[ \lim_{x\to 5} \frac{x + 5}{x - 1} \]

Теперь подставим \( x = 5 \) в упрощённое выражение:

\[ \frac{5 + 5}{5 - 1} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2.5 \]

Ответ: 2.5