18. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение \(\frac{2ax^2+3x}{x-a^2}=0\) имеет ровно два различных корня.

Чтобы уравнение \(\frac{2ax^2+3x}{x-a^2}=0\) имело ровно два различных корня, необходимо, чтобы числитель \(2ax^2+3x\) обратился в ноль, а знаменатель \(x-a^2\) не был равен нулю. При этом корни числителя должны быть различными.

1. Приравняем числитель к нулю:
   \(2ax^2+3x=0\)
x(2ax+3)=0
   Отсюда получаем два возможных корня: \(x_1=0\) и \(x_2 = -\frac{3}{2a}\) (при условии, что \(a \neq 0\)).
2. Учтем условие, что корни должны быть различными.
   Корни \(x_1\) и \(x_2\) будут различными, если \(0 \neq -\frac{3}{2a}\), что выполняется при \(a \neq 0\).
3. Учтем условие, что знаменатель не равен нулю.
   Знаменатель \(x-a^2\) не должен быть равен нулю, то есть \(x \neq a^2\).
   
   • Если \(x_1=0\) является корнем, то \(0 \neq a^2\). Это означает, что \(a \neq 0\).
   • Если \(x_2=-\frac{3}{2a}\) является корнем, то \(-\frac{3}{2a} \neq a^2\).
     -\(\frac{3}{2a}\) \(\neq\) a^2
-3 \(\neq\) 2a^3
a^3 \(\neq\) -\(\frac{3}{2}\)
a \(\neq\) \(\sqrt[3]{-\frac{3}{2}}\)
4. Рассмотрим случай \(a=0\).
   Если \(a=0\), то уравнение становится \(\frac{3x}{-x^2}=0\), что при \(x \neq 0\) равносильно \(3x=0\), то есть \(x=0\). Но в этом случае знаменатель равен 0, поэтому решений нет. Следовательно, \(a \neq 0\).
5. Объединим все условия.
   Для того, чтобы уравнение имело ровно два различных корня, необходимо:
   
   • \(a \neq 0\)
   • a \(\neq\) \(\sqrt[3]{-\frac{3}{2}}\)
   Таким образом, параметр \(a\) может принимать любые значения, кроме 0 и \(\sqrt[3]{-\frac{3}{2}}\).

Ответ: \(a \in \mathbb{R} \setminus \{0, \sqrt[3]{-\frac{3}{2}}\}\)