18. Найдите все решения sin x < -√2/2 в [-3π/2; 2π].

Решение:

Нам нужно найти решения неравенства \( \sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2} \) на промежутке \( \left[-\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right] \).

1. Найдём значения x, для которых \( \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \):
• На единичной окружности эти значения соответствуют углам \( x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \) и \( x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n \), где \( n \) — целое число.
2. Определим промежутки, где \( \sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2} \):
• На единичной окружности это дуга, лежащая ниже горизонтальной линии \( y = -\frac{\sqrt{2}}{2} \). Эта дуга соответствует углам от \( \frac{5\pi}{4} \) до \( \frac{7\pi}{4} \) (в пределах одного оборота).
• Общее решение неравенства: \( \frac{5\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{7\pi}{4} + 2\pi n \).
3. Отберём решения, принадлежащие промежутку \( \left[-\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right] \):
• Рассмотрим \( n = 0 \): \( \frac{5\pi}{4} < x < \frac{7\pi}{4} \). Этот интервал \( \left(\frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}\right) \) полностью лежит в заданном промежутке \( \left[-\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right] \), так как \( -\frac{3\pi}{2} = -\frac{6\pi}{4} \) и \( 2\pi = \frac{8\pi}{4} \).
• Рассмотрим \( n = -1 \): \( \frac{5\pi}{4} - 2\pi < x < \frac{7\pi}{4} - 2\pi \) → \( -\frac{3\pi}{4} < x < -\frac{\pi}{4} \). Этот интервал \( \left(-\frac{3\pi}{4}; -\frac{\pi}{4}\right) \) не полностью лежит в заданном промежутке, так как его начало \( -\frac{3\pi}{4} \) больше \( -\frac{3\pi}{2} \) (так как \( -\frac{3\pi}{4} = -\frac{1.5\pi}{2} \) и \( -\frac{3\pi}{2} \)).
• Рассмотрим \( n = 1 \): \( \frac{5\pi}{4} + 2\pi < x < \frac{7\pi}{4} + 2\pi \) → \( \frac{13\pi}{4} < x < \frac{15\pi}{4} \). Этот интервал не лежит в заданном промежутке.
4. Проверим границы заданного промежутка:
• \( x = -\frac{3\pi}{2} \): \( \sin(-\frac{3\pi}{2}) = 1 \). \( 1 \) не меньше \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \).
• \( x = 2\pi \): \( \sin(2\pi) = 0 \). \( 0 \) не меньше \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \).
5. Учтем, что на промежутке \( \left[-\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right] \) есть два интервала, удовлетворяющих условию:
• На первом обороте (от \( 0 \) до \( 2\pi \)): \( \frac{5\pi}{4} < x < \frac{7\pi}{4} \).
• На части второго оборота (от \( -\frac{3\pi}{2} \) до \( 0 \)): \( \sin x \) принимает значения от \( -1 \) (при \( x = -\frac{\pi}{2} \)) до \( 0 \) (при \( x = 0 \)). В этом диапазоне нас интересуют значения, которые меньше \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \).
• Рассмотрим промежуток \( \left[-\frac{3\pi}{2}; 0\right] \).
• \( \sin(-\frac{3\pi}{2}) = 1 \)
• \( \sin(-\pi) = 0 \)
• \( \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1 \)
• \( \sin(0) = 0 \)
• На интервале \( \left(-\frac{3\pi}{2}; 0\right) \), синус убывает от 1 до -1.
• Нам нужны значения \( x \) такие, что \( \sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2} \).
• Это соответствует интервалу \( \left(-\frac{3\pi}{4}; -\frac{\pi}{4}\right) \) (или \( \frac{5\pi}{4}-2π < x < \frac{7π}{4}-2π \) ).
• С учётом заданного промежутка \( \left[-\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right] \):
• Интервал \( \left(-\frac{3\pi}{4}; -\frac{\pi}{4}\right) \) полностью содержится в \( \left[-\frac{3\pi}{2}; 0\right] \).
• Интервал \( \left(\frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}\right) \) полностью содержится в \( \left[0; 2\pi\right] \).

Ответ: \( \left(-\frac{3\pi}{4}; -\frac{\pi}{4}\right) \cup \left(\frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}\right) \).