18. На рисунке 142 изображён параллелограмм ABCD. Используя рисунок, найдите sin ∠BDC.

Решение:

На рисунке изображён параллелограмм ABCD. Для вычисления \( \sin \angle BDC \) рассмотрим треугольник \( BDC \).

По клеточкам определим длины сторон и координаты:

• Пусть одна клетка равна 1 единице.
• Точки: \( B = (2, 4) \), \( D = (4, 0) \), \( C = (7, 2) \).
• Найдем длину вектора \( sd{DC} \): \( sd{DC} = (7-4, 2-0) = (3, 2) \). Длина \( DC = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13} \).
• Найдем длину вектора \( sd{DB} \): \( sd{DB} = (2-4, 4-0) = (-2, 4) \). Длина \( DB = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} \).
• Найдем длину вектора \( sd{BC} \): \( sd{BC} = (7-2, 2-4) = (5, -2) \). Длина \( BC = \sqrt{5^2 + (-2)^2} = \sqrt{25+4} = \sqrt{29} \).

Используем формулу для синуса угла в треугольнике через площадь:

• Площадь треугольника \( BDC \) можно найти, используя координаты вершин. Примем \( D \) как начало координат \( (0,0) \) для удобства. Тогда \( B' = (2-4, 4-0) = (-2, 4) \), \( C' = (7-4, 2-0) = (3, 2) \).
• Площадь \( S = \frac{1}{2} |x_1 y_2 - x_2 y_1| = \frac{1}{2} |(-2)(2) - (3)(4)| = \frac{1}{2} |-4 - 12| = \frac{1}{2} |-16| = 8 \).

Или, альтернативно, используем формулу площади через две стороны и синус угла между ними:

• Площадь \( S = \frac{1}{2} sd{DC} sd{DB} sin \angle BDC \).
• \( 8 = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{13} \cdot \sqrt{20} sin \angle BDC \)
• \( 16 = \sqrt{260} sin \angle BDC \)
• \( sin \angle BDC = \frac{16}{\sqrt{260}} = \frac{16}{2\sqrt{65}} = \frac{8}{\sqrt{65}} = \frac{8\sqrt{65}}{65} \).

Также можно найти косинус угла \( sd{BD} sd{CD} \) с помощью скалярного произведения векторов:

• \( sd{DB} sd{DC} = (-2)(3) + (4)(2) = -6 + 8 = 2 \).
• \( sd{DB} sd{DC} = |DB| |DC| \cos \angle BDC \)
• \( 2 = \sqrt{20} \cdot \sqrt{13} \cos \angle BDC \)
• \( 2 = \sqrt{260} \cos \angle BDC \)
• \( \cos \angle BDC = \frac{2}{\sqrt{260}} = \frac{2}{2\sqrt{65}} = \frac{1}{\sqrt{65}} \).
• Используя основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \):
• \( \sin^2 \angle BDC = 1 - \cos^2 \angle BDC = 1 - \left( \frac{1}{\sqrt{65}} \right)^2 = 1 - \frac{1}{65} = \frac{64}{65} \).
• Так как угол \( sdqadrat \) не может быть тупым, \( \sin \angle BDC > 0 \).
• \( \sin \angle BDC = \sqrt{\frac{64}{65}} = \frac{8}{\sqrt{65}} = \frac{8\sqrt{65}}{65} \).

Ответ: $$\frac{8\sqrt{65}}{65}$$