18 На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см изображён тре-угольник АВС с вершинами в узлах сетки, см. рисунок. Найдите длину его медианы СМ.

Решение:

Для решения задачи определим координаты вершин треугольника A, B, C, используя систему координат, где начало координат находится в нижнем левом углу сетки. Размер клетки — 1 см.

Предположим, что точка B имеет координаты (0, 0). Тогда:

• Координаты точки B: \( B(0, 0) \).
• Координаты точки C: \( C(3, 0) \). (3 клетки вправо от B)
• Координаты точки A: \( A(1, 5) \). (1 клетка вправо и 5 клеток вверх от B)

Медиана CM соединяет вершину C с серединой противоположной стороны AB. Найдем координаты середины отрезка AB (точка M).

Координаты M:

\[ M \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) = \left( \frac{1 + 0}{2}, \frac{5 + 0}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{5}{2} \right) = (0.5, 2.5) \]

Теперь найдем длину медианы CM, используя формулу расстояния между двумя точками C(3, 0) и M(0.5, 2.5).

\[ CM = \sqrt{(x_M - x_C)^2 + (y_M - y_C)^2} \]

\[ CM = \sqrt{(0.5 - 3)^2 + (2.5 - 0)^2} \]

\[ CM = \sqrt{(-2.5)^2 + (2.5)^2} \]

\[ CM = \sqrt{6.25 + 6.25} \]

\[ CM = \sqrt{12.5} \]

\[ CM = \sqrt{\frac{25}{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \]

В сантиметрах это примерно \( \frac{5 \times 1.414}{2} \approx 3.535 \) см.

Ответ: \( \frac{5\sqrt{2}}{2} \) см.