18. Моторная лодка прошла против течения реки 208 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 5 часов меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч. Ответ дайте в км/ч. Запишите решение и ответ. Решение:

Привет! Давай разберемся с этой задачей по математике. Это классическая задача на движение, где нужно найти скорость лодки.

Дано:

• Расстояние туда и обратно: 208 км (в одну сторону).
• Скорость течения реки: 5 км/ч.
• Время на обратный путь (по течению) на 5 часов меньше, чем на путь против течения.

Найти:

• Скорость лодки в неподвижной воде (обозначим ее как x км/ч).

Решение:

1. Определим скорости:
   • Скорость лодки против течения: x - 5 км/ч (скорость лодки минус скорость течения).
   • Скорость лодки по течению: x + 5 км/ч (скорость лодки плюс скорость течения).
2. Определим время:
   • Время в пути против течения: t1 = Расстояние / Скорость = 208 / (x - 5) часов.
   • Время в пути по течению: t2 = Расстояние / Скорость = 208 / (x + 5) часов.
3. Составим уравнение: Мы знаем, что лодка затратила на обратный путь (по течению) на 5 часов меньше. Значит, t1 = t2 + 5. Подставляем наши выражения для времени:
   • \[ \frac{208}{x - 5} = \frac{208}{x + 5} + 5 \]
4. Решим уравнение:
   • Перенесем все в одну сторону:
   • \[ \frac{208}{x - 5} - \frac{208}{x + 5} = 5 \]
   • Приведем к общему знаменателю (x - 5)(x + 5):
   • \[ \frac{208(x + 5) - 208(x - 5)}{(x - 5)(x + 5)} = 5 \]
   • Раскроем скобки в числителе:
   • \[ \frac{208x + 1040 - 208x + 1040}{x^2 - 25} = 5 \]
   • Упростим числитель:
   • \[ \frac{2080}{x^2 - 25} = 5 \]
   • Теперь умножим обе части на (x^2 - 25):
   • \[ 2080 = 5(x^2 - 25) \]
   • Разделим обе части на 5:
   • \[ 416 = x^2 - 25 \]
   • Найдем x^2:
   • \[ x^2 = 416 + 25 \]
   • \[ x^2 = 441 \]
   • Извлечем квадратный корень:
   • \[ x = \sqrt{441} \]
   • \[ x = 21 \]
   (Поскольку скорость не может быть отрицательной, берем только положительный корень).

Проверка:

• Скорость против течения: 21 - 5 = 16 км/ч.
• Время против течения: 208 / 16 = 13 часов.
• Скорость по течению: 21 + 5 = 26 км/ч.
• Время по течению: 208 / 26 = 8 часов.
• Разница во времени: 13 - 8 = 5 часов. Всё верно!

Ответ: 21 км/ч