18. Каждому из четырёх неравенств соответствует одно из решений. Установи соответствие между неравенствами и их решениями. НЕРАВЕНСТВА A) log3 x < -2 Б) log3 x < 2 B) log3 x > -2 Г) log3 x > 2 РЕШЕНИЯ 1) 0 < x < 9 2) 0 < x < 1/9 3) x > 9 4) x > 1/9

Решение:

Для решения логарифмических неравенств вспомним свойства логарифмической функции. Функция \( y = \log_a x \) является возрастающей при \( a > 1 \) и убывающей при \( 0 < a < 1 \). В данном случае основание логарифма равно 3, что больше 1, поэтому функция \( \log_3 x \) является возрастающей.

Чтобы решить неравенство \( \log_a x < b \), нужно преобразовать правую часть в логарифм с тем же основанием: \( b = \log_a (a^b) \). Тогда неравенство примет вид \( \log_a x < \log_a (a^b) \).

При \( a > 1 \) (возрастающая функция): \( x < a^b \). Также нужно учесть область допустимых значений, где \( x > 0 \).

При \( a > 1 \) (возрастающая функция): Чтобы решить неравенство \( \log_a x > b \), нужно преобразовать правую часть в логарифм с тем же основанием: \( b = \log_a (a^b) \). Тогда неравенство примет вид \( \log_a x > \log_a (a^b) \). При \( a > 1 \): \( x > a^b \). Также нужно учесть область допустимых значений, где \( x > 0 \).

А) \( \log_3 x < -2 \)

• Преобразуем -2 в логарифм: \( -2 = \log_3 (3^{-2}) = \log_3 (1/9) \).
• Неравенство: \( \log_3 x < \log_3 (1/9) \).
• Так как основание \( 3 > 1 \), функция возрастающая, поэтому \( x < 1/9 \).
• Учитывая область допустимых значений \( x > 0 \), получаем \( 0 < x < 1/9 \).
• Соответствует решению 2).

Б) \( \log_3 x < 2 \)

• Преобразуем 2 в логарифм: \( 2 = \log_3 (3^2) = \log_3 9 \).
• Неравенство: \( \log_3 x < \log_3 9 \).
• Так как основание \( 3 > 1 \), функция возрастающая, поэтому \( x < 9 \).
• Учитывая область допустимых значений \( x > 0 \), получаем \( 0 < x < 9 \).
• Соответствует решению 1).

В) \( \log_3 x > -2 \)

• Преобразуем -2 в логарифм: \( -2 = \log_3 (3^{-2}) = \log_3 (1/9) \).
• Неравенство: \( \log_3 x > \log_3 (1/9) \).
• Так как основание \( 3 > 1 \), функция возрастающая, поэтому \( x > 1/9 \).
• Учитывая область допустимых значений \( x > 0 \), получаем \( x > 1/9 \).
• Соответствует решению 4).

Г) \( \log_3 x > 2 \)

• Преобразуем 2 в логарифм: \( 2 = \log_3 (3^2) = \log_3 9 \).
• Неравенство: \( \log_3 x > \log_3 9 \).
• Так как основание \( 3 > 1 \), функция возрастающая, поэтому \( x > 9 \).
• Учитывая область допустимых значений \( x > 0 \), получаем \( x > 9 \).
• Соответствует решению 3).

Сопоставление:

• А) соответствует 2)
• Б) соответствует 1)
• В) соответствует 4)
• Г) соответствует 3)

Ответ: А-2, Б-1, В-4, Г-3