18. Из точки М к окружности с центром О проведены касательные М А и МВ. Найди расстояние между точками касания А и В, если ∠AOB = 120° и МА = 18.

1. В треугольнике МОА, угол ОАМ равен 90 градусов. По теореме Пифагора, $$МО^2 = МА^2 + ОА^2$$. Также, угол АОМ равен половине угла АОВ, то есть 60 градусов.

2. В прямоугольном треугольнике МОА, $$ОА = МА \tan(30^\text{o}) = 18 \times \frac{1}{\text{sqrt}(3)} = 6\text{sqrt}(3)$$.

3. Расстояние АВ можно найти, используя теорему косинусов в треугольнике АОВ: $$АВ^2 = ОА^2 + ОВ^2 - 2 \times ОА \times ОВ \times \text{cos}(120^\text{o})$$. Так как ОА = ОВ = $$6\text{sqrt}(3)$$, $$АВ^2 = (6\text{sqrt}(3))^2 + (6\text{sqrt}(3))^2 - 2 \times (6\text{sqrt}(3))^2 \times (-\frac{1}{2}) = 3 \times (6\text{sqrt}(3))^2 = 3 \times 108 = 324$$. Следовательно, $$АВ = \text{sqrt}(324) = 18$$.