18. Доведіть тотожність: \(\frac{a+b}{a} - \frac{a}{a-b} + \frac{b^2}{a^2-ab} = 0;\)

Рішення:

Щоб довести тотожність, зведемо ліву частину до спільного знаменника.

1. Розкладемо знаменник третього дробу: \( a^2 - ab = a(a-b) \).
2. Спільний знаменник для всіх дробів: \( a(a-b) \).
3. Зведемо дроби до спільного знаменника:
   • \(\frac{a+b}{a} = \frac{(a+b)(a-b)}{a(a-b)} = \frac{a^2 - b^2}{a(a-b)}\)
   • \(\frac{a}{a-b} = \frac{a \cdot a}{(a-b) \cdot a} = \frac{a^2}{a(a-b)}\)
   • \(\frac{b^2}{a^2-ab} = \frac{b^2}{a(a-b)}\)
4. Підставимо зведені дроби в початковий вираз:
   • \(\frac{a^2 - b^2}{a(a-b)} - \frac{a^2}{a(a-b)} + \frac{b^2}{a(a-b)} \)
   • \( = \frac{(a^2 - b^2) - a^2 + b^2}{a(a-b)} \)
   • \( = \frac{a^2 - b^2 - a^2 + b^2}{a(a-b)} \)
   • \( = \frac{0}{a(a-b)} \)
   • \( = 0 \)

Ліва частина тотожності дорівнює правій частині. Тотожність доведена.

Відповідь: Тотожність доведена.