18. Докажите, что при любом значении переменной значение дроби

Решение:

а) Дробь \( \frac{3}{x^2+1} \) является положительной, потому что числитель (3) — положительное число, а знаменатель \( x^2+1 \) всегда положителен, так как \( x^2 \) неотрицательно, а прибавление 1 делает его строго больше нуля. Таким образом, \( \frac{3}{x^2+1} > 0 \) для любого \( x \).

б) Дробь \( \frac{-5}{y^2+4} \) является отрицательной, потому что числитель (-5) — отрицательное число, а знаменатель \( y^2+4 \) всегда положителен (так как \( y^2 \) неотрицательно, а прибавление 4 делает его строго больше нуля). Таким образом, \( \frac{-5}{y^2+4} < 0 \) для любого \( y \).

в) Дробь \( \frac{(a-1)^2}{a^2+10} \) является неотрицательной. Числитель \( (a-1)^2 \) всегда неотрицателен (он равен нулю при \( a=1 \), и положителен во всех остальных случаях). Знаменатель \( a^2+10 \) всегда положителен, так как \( a^2 \) неотрицательно, а прибавление 10 делает его строго больше нуля. Следовательно, \( \frac{(a-1)^2}{a^2+10} \ge 0 \) для любого \( a \).

г) Дробь \( \frac{(b-3)^2}{-b^2-1} \) является неположительной. Числитель \( (b-3)^2 \) всегда неотрицателен (он равен нулю при \( b=3 \), и положителен во всех остальных случаях). Знаменатель \( -b^2-1 \) всегда отрицателен, так как \( b^2 \) неотрицательно, умножение на -1 делает его неположительным, а вычитание 1 делает его строго меньше нуля. Таким образом, \( \frac{(b-3)^2}{-b^2-1} \le 0 \) для любого \( b \).

Доказано.