18. Дано: tg\(\alpha\) = \(\sqrt{15}\)/7, \(\alpha\) \(\in\) \(\text{III Четверть}\). Найти: cos\(\alpha/2\).

Решение:

Для нахождения \( \cos(\alpha/2) \) воспользуемся формулой понижения степени:

\[ \cos^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1 + \cos(\alpha)}{2} \]

Сначала найдём \( \cos(\alpha) \) из \( \text{tg}(\alpha) \). Из основного тригонометрического тождества \( \text{tg}^2(\alpha) + 1 = \frac{1}{\cos^2(\alpha)} \).

\( \text{tg}^2(\alpha) = (\frac{\sqrt{15}}{7})^2 = \frac{15}{49} \).

\( \frac{15}{49} + 1 = \frac{1}{\cos^2(\alpha)} \)

\( \frac{15 + 49}{49} = \frac{64}{49} = \frac{1}{\cos^2(\alpha)} \)

\( \cos^2(\alpha) = \frac{49}{64} \).

Так как \( \alpha \) находится в III четверти (от \( \pi \) до \( 3\pi/2 \)), то \( \cos(\alpha) < 0 \).

\( \cos(\alpha) = -\sqrt{\frac{49}{64}} = -\frac{7}{8} \).

Теперь подставим значение \( \cos(\alpha) \) в формулу для \( \cos(\alpha/2) \):

\( \cos^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1 + (-\frac{7}{8})}{2} = \frac{1 - \frac{7}{8}}{2} = \frac{\frac{1}{8}}{2} = \frac{1}{16} \).

Угол \( \alpha \) находится в III четверти, значит \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \). Тогда \( \frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{3\pi}{4} \).

Угол \( \alpha/2 \) находится во II четверти, где \( \cos(\alpha/2) < 0 \).

\( \cos(\frac{\alpha}{2}) = -\sqrt{\frac{1}{16}} = -\frac{1}{4} \).

Ответ: \( -1/4 \).