18. Через пункты А и Б, расстояние между которыми 280 км, проходит прямолинейное шоссе. Из пунктов А и Б по этому шоссе одновременно начали движение автомобиль и грузовик. Автомобиль едет с постоянной скоростью 80 км/ч, грузовик — с постоянной скоростью 70 км/ч, оба не делают остановок. Какое расстояние будет между ними через два часа после начала движения? Найдите все возможные варианты.

Краткое пояснение:

Дано:

• Расстояние между пунктами А и Б (S): 280 км.
• Скорость автомобиля (v_а): 80 км/ч.
• Скорость грузовика (v_г): 70 км/ч.
• Время движения (t): 2 часа.

Решение:

Вариант 1: Автомобиль и грузовик движутся навстречу друг другу.

1. Шаг 1: Рассчитаем расстояние, которое проехал автомобиль за 2 часа. Используем формулу: расстояние = скорость × время.
   \[ S_а = v_а × t = 80 × 2 = 160 км \]
2. Шаг 2: Рассчитаем расстояние, которое проехал грузовик за 2 часа.
   \[ S_г = v_г × t = 70 × 2 = 140 км \]
3. Шаг 3: Определим расстояние между ними. Так как они движутся навстречу друг другу из пунктов А и Б, начальное расстояние между ними равно 280 км. После 2 часов движения они сблизились на сумму пройденных расстояний. Их суммарное пройденное расстояние: \( S_а + S_г = 160 + 140 = 300 км \). Поскольку суммарное пройденное расстояние (300 км) больше начального расстояния между пунктами (280 км), это означает, что они встретились и разъехались. Расстояние между ними после встречи будет равно сумме пройденных расстояний минус начальное расстояние, умноженное на 2 (так как они разъехались на это расстояние в противоположных направлениях от точки встречи, или, проще говоря, суммарное пройденное расстояние избыточно на 20 км).
   \[ Расстояние = (S_а + S_г) - S_{АБ} = 300 - 280 = 20 км \]

Вариант 2: Автомобиль и грузовик движутся в одном направлении (например, оба из А в Б).

Предположим, что автомобиль и грузовик стартуют из пункта А и движутся в направлении пункта Б.

1. Шаг 1: Расстояние, которое проехал автомобиль за 2 часа: \( S_а = 160 км \) (как в Варианте 1).
2. Шаг 2: Расстояние, которое проехал грузовик за 2 часа: \( S_г = 140 км \) (как в Варианте 1).
3. Шаг 3: Так как автомобиль движется быстрее грузовика, он будет его обгонять. Расстояние между ними будет разницей пройденных расстояний.
   \[ Расстояние = S_а - S_г = 160 - 140 = 20 км \]

Вариант 3: Автомобиль и грузовик движутся в одном направлении (например, оба из Б в А).

Предположим, что автомобиль и грузовик стартуют из пункта Б и движутся в направлении пункта А.

1. Шаг 1: Расстояние, которое проехал автомобиль за 2 часа: \( S_а = 160 км \).
2. Шаг 2: Расстояние, которое проехал грузовик за 2 часа: \( S_г = 140 км \).
3. Шаг 3: В этом случае автомобиль, двигаясь быстрее, будет отставать от грузовика, если стартовал позже или из более дальней точки. Если они стартуют одновременно из пункта Б, то автомобиль будет удаляться от грузовика. Расстояние между ними будет разницей пройденных расстояний.
   \[ Расстояние = S_а - S_г = 160 - 140 = 20 км \]

Вариант 4: Автомобиль движется из А в Б, а грузовик из Б в А.

Это тот же случай, что и Вариант 1, так как они движутся навстречу друг другу.

Возможный сценарий: Если автомобиль выезжает из пункта А, а грузовик из пункта Б, и они движутся навстречу друг другу. Тогда их сближение происходит по формуле относительной скорости: \( v_{отн} = v_а + v_г = 80 + 70 = 150 \) км/ч. За 2 часа они проедут: \( S_{встречи} = v_{отн} × t = 150 × 2 = 300 \) км. Это больше, чем расстояние между пунктами (280 км), значит, они встретились и разъехались. Расстояние между ними будет \( 300 - 280 = 20 \) км.

Возможный сценарий: Если автомобиль и грузовик стартуют одновременно из одного пункта (например, А) и движутся в одном направлении. Тогда автомобиль, как более быстрый, будет удаляться от грузовика. Расстояние между ними будет разницей пройденных ими расстояний: \( S_а = 80 × 2 = 160 \) км, \( S_г = 70 × 2 = 140 \) км. Расстояние между ними: \( 160 - 140 = 20 \) км.

Возможный сценарий: Если автомобиль стартует из пункта А, а грузовик из пункта Б, и они движутся в одном направлении (например, автомобиль догоняет грузовик, который движется от Б к А, что невозможно, так как они стартуют из разных пунктов и движутся в противоположных направлениях, но если они движутся в одном направлении, например, оба из А в Б, а грузовик из Б в А, то они движутся навстречу).

Проанализируем все возможные случаи движения:

1. Движение навстречу друг другу: Автомобиль из А, грузовик из Б.
• Расстояние, пройденное автомобилем: \( d_a = 80 ext{ км/ч} imes 2 ext{ ч} = 160 ext{ км} \).
• Расстояние, пройденное грузовиком: \( d_г = 70 ext{ км/ч} imes 2 ext{ ч} = 140 ext{ км} \).
• Общее пройденное расстояние: \( d_a + d_г = 160 + 140 = 300 ext{ км} \).
• Так как общее пройденное расстояние больше начального расстояния между пунктами (280 км), они встретились и продолжили движение. Расстояние между ними будет: \( (d_a + d_г) - 280 = 300 - 280 = 20 ext{ км} \).
2. Движение в одном направлении:
• Случай 1: Оба стартуют из пункта А в направлении Б.
• Автомобиль проедет 160 км, грузовик — 140 км. Автомобиль будет впереди на \( 160 - 140 = 20 ext{ км} \).
• Случай 2: Оба стартуют из пункта Б в направлении А.
• Автомобиль проедет 160 км, грузовик — 140 км. Если они стартуют из Б, то автомобиль, двигаясь в сторону А, будет удаляться от грузовика. Их взаимное расстояние будет \( 160 - 140 = 20 ext{ км} \).
• Случай 3: Автомобиль из А в Б, а грузовик из Б в А (этот случай рассмотрен в п.1).
• Случай 4: Автомобиль из Б в А, а грузовик из А в Б (этот случай также рассмотрен в п.1, так как они движутся навстречу).
• Случай 5: Автомобиль стартует из А, а грузовик из Б, и оба движутся в одном направлении (например, в сторону пункта В, находящегося дальше от А и Б).
• Если автомобиль из А, а грузовик из Б, и оба движутся в направлении