18. (3 балла) Построить фигуру, ограниченную графиками функций y= x² и y=3x и при помощи интеграла найдите ее площадь

Решение:

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций \( y = x^2 \) и \( y = 3x \), сначала найдем точки их пересечения.

1. Приравниваем функции: \( x^2 = 3x \)
2. Переносим всё в одну сторону: \( x^2 - 3x = 0 \)
3. Выносим \( x \) за скобки: \( x(x - 3) = 0 \)
4. Находим корни: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 3 \). Эти значения являются пределами интегрирования.
5. Определяем, какая функция находится выше в пределах от 0 до 3. Для этого возьмем любое значение \( x \) из этого интервала, например \( x = 1 \).
6. Подставляем \( x = 1 \) в обе функции: \( y_1 = 1^2 = 1 \) и \( y_2 = 3 \cdot 1 = 3 \).
7. Так как \( 3 > 1 \), функция \( y = 3x \) находится выше функции \( y = x^2 \) на данном интервале.
8. Площадь фигуры \( S \) находится по формуле определенного интеграла: \[ S = \int_{a}^{b} (f(x)_{верх} - f(x)_{низ}) dx \]
9. Подставляем наши значения: \[ S = \int_{0}^{3} (3x - x^2) dx \]
10. Вычисляем интеграл: \[ S = \left[ \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3} \]
11. Подставляем верхний и нижний пределы интегрирования: \[ S = \left( \frac{3 \cdot 3^2}{2} - \frac{3^3}{3} \right) - \left( \frac{3 \cdot 0^2}{2} - \frac{0^3}{3} \right) \]
12. Вычисляем: \[ S = \left( \frac{3 \cdot 9}{2} - \frac{27}{3} \right) - (0 - 0) \] \[ S = \frac{27}{2} - 9 \] \[ S = 13.5 - 9 \] \[ S = 4.5 \]

Ответ: Площадь фигуры равна 4.5.