18.05 Классная работа \ \ \ ^1. \ \ 13 \ a) 2sin\(x+\\frac{\\pi}{3}\)+cos2x = \\(\sqrt{3}\)cosx+1 \ б) [ -3\\(\pi\) ; -\\(\frac{3\\pi}{2}\) ]

Решение:

Заданное тригонометрическое уравнение:

\( 2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right) + \cos(2x) = \sqrt{3}\cos(x) + 1 \)

Преобразуем уравнение:

1. Разложим \( \sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right) \) по формуле суммы:
   \( \sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right) = \sin(x)\cos(\frac{\pi}{3}) + \cos(x)\sin(\frac{\pi}{3}) = \sin(x) \cdot \frac{1}{2} + \cos(x) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \)
2. Подставим в уравнение:
   \( 2\left(\frac{1}{2}\sin(x) + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos(x)\right) + \cos(2x) = \sqrt{3}\cos(x) + 1 \)
   \( \sin(x) + \sqrt{3}\cos(x) + \cos(2x) = \sqrt{3}\cos(x) + 1 \)
3. Сократим \( \sqrt{3}\cos(x) \):
   \( \sin(x) + \cos(2x) = 1 \)
4. Используем формулу двойного угла для косинуса: \( \cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) \).
   \( \sin(x) + 1 - 2\sin^2(x) = 1 \)
5. Упростим:
   \( \sin(x) - 2\sin^2(x) = 0 \)
6. Вынесем \( \sin(x) \) за скобки:
   \( \sin(x)(1 - 2\sin(x)) = 0 \)
7. Получаем два случая:
   Случай 1: \( \sin(x) = 0 \)
   \( x = \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \)
8. Случай 2: \( 1 - 2\sin(x) = 0 \)
   \( \sin(x) = \frac{1}{2} \)
   \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \) или \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \)

Теперь отберём корни, принадлежащие промежутку \( \left[ -3\pi; -\frac{3\pi}{2} \right] \).

Для первого случая: \( x = \pi n \)

• \( n = -3 \): \( x = -3\pi \). Этот корень принадлежит промежутку.
• \( n = -2 \): \( x = -2\pi \). Этот корень НЕ принадлежит промежутку.
• \( n = -1 \): \( x = -\pi \). Этот корень НЕ принадлежит промежутку.

Для второго случая: \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \)

• \( k = -1 \): \( x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = \frac{\pi - 12\pi}{6} = -\frac{11\pi}{6} \). Этот корень НЕ принадлежит промежутку (он больше, чем \( -3\pi \)).
• \( k = -2 \): \( x = \frac{\pi}{6} - 4\pi = \frac{\pi - 24\pi}{6} = -\frac{23\pi}{6} \). Этот корень НЕ принадлежит промежутку (он меньше, чем \( -3\pi \)).

Для третьего случая: \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \)

• \( k = -1 \): \( x = \frac{5\pi}{6} - 2\pi = \frac{5\pi - 12\pi}{6} = -\frac{7\pi}{6} \). Этот корень НЕ принадлежит промежутку (он больше, чем \( -3\pi \)).
• \( k = -2 \): \( x = \frac{5\pi}{6} - 4\pi = \frac{5\pi - 24\pi}{6} = -\frac{19\pi}{6} \). Этот корень НЕ принадлежит промежутку (он меньше, чем \( -3\pi \)).

Проверим границы промежутка:

\( -3\pi = -18.84 \dots \)

\( -\frac{3\pi}{2} = -4.71 \dots \)

\( x = -3\pi \) принадлежит промежутку.

Проверим корни, полученные во втором и третьем случае:

\( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \)

• \( k = -1 \): \( x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6} \). \( -11\pi / 6 \approx -5.76 \). Этот корень НЕ принадлежит промежутку.
  
• \( k = -2 \): \( x = \frac{\pi}{6} - 4\pi = -\frac{23\pi}{6} \). \( -23\pi / 6 \approx -12.04 \). Этот корень принадлежит промежутку.
  

\( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \)

• \( k = -1 \): \( x = \frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{7\pi}{6} \). \( -7\pi / 6 \approx -3.66 \). Этот корень НЕ принадлежит промежутку.
  
• \( k = -2 \): \( x = \frac{5\pi}{6} - 4\pi = -\frac{19\pi}{6} \). \( -19\pi / 6 \approx -9.95 \). Этот корень принадлежит промежутку.
  

Итоговые корни, принадлежащие промежутку \( \left[ -3\pi; -\frac{3\pi}{2} \right] \):

• \( -3\pi \)
• \( -2\pi \) (из \( \sin(x) = 0 \))
• \( -\frac{23\pi}{6} \) (из \( \sin(x) = 1/2 \))
• \( -11\pi/6 \) (из \( \sin(x) = 1/2 \))

Окончательный перебор корней:

• \( x =
  
  
  \pi n
  
  
  \):
  
  
  \( n=-3
  
  
  \)
  
  
  \( x=-3
  
  
  \pi
  
  
  \)
  
  
  \( ( -3
  
  
  \pi
  
  
  \approx -9.42 )
  
  
  \) - входит в
  
  
  \( [-3
  
  
  \pi; -3
  
  
  \frac{\\pi}{2}] \)
  
  
  \( \approx [-9.42; -4.71] \)
• \( n=-2
  
  
  \)
  
  
  \( x=-2
  
  
  \pi
  
  
  \)
  
  
  \( (-2
  
  
  \pi
  
  
  \approx -6.28 )
  
  
  \) - входит в
  
  
  \( [-3
  
  
  \pi; -3
  
  
  \frac{\\pi}{2}] \)
• \( n=-1
  
  
  \)
  
  
  \( x=-
  
  
  \pi
  
  
  \)
  
  
  \( (-
  
  
  \pi
  
  
  \approx -3.14 )
  
  
  \) - НЕ входит в
  
  
  \( [-3
  
  
  \pi; -3
  
  
  \frac{\\pi}{2}] \)
• \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \):
• \( k=-1 \): \( x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6} \) \( ( -\frac{11\pi}{6} \approx -5.76 ) \) - входит в
  
  
  \( [-3
  
  
  \pi; -3
  
  
  \frac{\\pi}{2}] \)
• \( k=-2 \): \( x = \frac{\pi}{6} - 4\pi = -\frac{23\pi}{6} \) \( ( -\frac{23\pi}{6} \approx -12.04 ) \) - НЕ входит в
  
  
  \( [-3
  
  
  \pi; -3
  
  
  \frac{\\pi}{2}] \)
• \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \):
• \( k=-1 \): \( x = \frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{7\pi}{6} \) \( ( -\frac{7\pi}{6} \approx -3.66 ) \) - НЕ входит в
  
  
  \( [-3
  
  
  \pi; -3
  
  
  \frac{\\pi}{2}] \)
• \( k=-2 \): \( x = \frac{5\pi}{6} - 4\pi = -\frac{19\pi}{6} \) \( ( -\frac{19\pi}{6} \approx -9.95 ) \) - входит в
  
  
  \( [-3
  
  
  \pi; -3
  
  
  \frac{\\pi}{2}] \)

Ответ: \( -3\pi; -2\pi; -\frac{11\pi}{6}; -\frac{19\pi}{6} \)