175. Предположим, что N — некоторое натуральное число. Найдите равносильные утверждения: А: «Число N чётное». В: «Число N равно 2k для некоторого натурального числа k». С: «Число N даёт остаток 2 при делении на 4». D: «Число N заканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8». Е: «Число N делится на 2, но не делится на 4».

Решение:

Анализ утверждений:

A: «Число N чётное». Это означает, что N делится на 2. N может быть 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...

B: «Число N равно 2k для некоторого натурального числа k». Это определение чётного числа. Если N = 2k, то N делится на 2. Например, при k=1, N=2; при k=2, N=4; при k=3, N=6.

C: «Число N даёт остаток 2 при делении на 4». Это означает, что N имеет вид 4m + 2. Числа: 6, 10, 14, 18, ... Все эти числа чётные, но не все чётные числа подходят (например, 2, 4, 8).

D: «Число N заканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8». Это признак делимости на 2, то есть признак чётности числа.

E: «Число N делится на 2, но не делится на 4». Это означает, что N — чётное число, но не кратное 4. Числа: 2, 6, 10, 14, 18, ...

Поиск равносильных утверждений:

Два утверждения равносильны, если они истинны для одних и тех же чисел N.

1. A и B:

   Утверждение A («Число N чётное») означает, что N делится на 2. Утверждение B («Число N равно 2k...») — это формальное определение чётного числа. Оба утверждения истинны для одного и того же множества чисел (все чётные числа).

2. A и D:

   Утверждение A («Число N чётное») означает, что N делится на 2. Утверждение D («Число N заканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8») — это признак того, что число делится на 2 (чётное). Оба утверждения истинны для одного и того же множества чисел (все чётные числа).

3. B и D:

   Аналогично пунктам 1 и 2, утверждение B (определение чётности) и утверждение D (признак чётности) описывают одно и то же свойство чисел — быть чётными.

Рассмотрим другие пары:

• A и C: Не равносильны. N=4 — чётное (A истинно), но не даёт остаток 2 при делении на 4 (C ложно).
• A и E: Не равносильны. N=4 — чётное (A истинно), но делится на 4 (E ложно).
• C и E: Не равносильны. N=6 — даёт остаток 2 при делении на 4 (C истинно) И делится на 2, но не на 4 (E истинно). Но N=10 — C истинно, E истинно. N=2 — C ложно, E истинно.

Таким образом, наиболее очевидными равносильными парами являются (A, B) и (A, D), а также (B, D).

Ответ:

Равносильными являются утверждения:

• А и В
• А и D
• В и D