17. Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 3 и 5. Найдите меньшее основание трапеции.

Решение:

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AB — меньшее основание, а CD — большее основание.

Проведём высоту BH из вершины B на большее основание CD. Получим прямоугольный треугольник BCH.

В равнобедренной трапеции большее основание делится высотой на три отрезка: отрезок, равный меньшему основанию, и два равных отрезка по краям.

Пусть \( BC = AD \) (боковые стороны равны).

Пусть \( AB = b \) (меньшее основание) и \( CD = a \) (большее основание).

Если высота BH проведена из конца меньшего основания, то она делит большее основание на отрезки. Это означает, что точка H лежит на CD.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: Высота проведена из вершины B, и точка H лежит между C и D. Тогда отрезок CH = 3, а HD = 5, или наоборот.

В равнобедренной трапеции:

\( CD = CH + HD = 3 + 5 = 8 \).

Отрезок HD (или CH) равен полуразности оснований: \( HD = \frac{CD - AB}{2} \).

\( 5 = \frac{8 - b}{2} \)

\( 10 = 8 - b \)

\( b = 8 - 10 = -2 \). Это невозможно, так как длина не может быть отрицательной.

Случай 2: Высота опущена так, что отрезок, равный меньшему основанию, является одним из отрезков. Это значит, что на большем основании образуются три отрезка: \( CH \), \( HB' \), \( B'D \), где \( B' \) — проекция вершины B, а \( HB' \) = AB.

Однако, условие гласит, что высота делит большее основание на отрезки 3 и 5. Это означает, что точка падения высоты на большее основание делит это основание на два отрезка.

Пусть проведённая высота из вершины B на основание CD падает в точку H. Тогда мы имеем отрезки CH и HD. Или из вершины A на основание CD, тогда отрезки DH и HC.

В равнобедренной трапеции, если опустить высоты из концов меньшего основания (например, из A и B на основание CD), то большее основание CD делится на три отрезка: DH, HE (равный AB), EC. Причем DH = EC.

По условию, высота делит большее основание на отрезки 3 и 5. Это значит, что один из этих отрезков является проекцией боковой стороны, а другой — частью большего основания, которая остается после вычета меньшего основания и проекции другой боковой стороны.

Итак, пусть \( a \) — большее основание, \( b \) — меньшее основание.

Опустим высоту из вершины меньшего основания (например, B) на большее основание (CD). Пусть высота падает в точку H. Тогда отрезок CH и HD являются частями основания CD.

В равнобедренной трапеции, проекция боковой стороны на большее основание равна \( \frac{a-b}{2} \).

Возможно, условие означает, что большее основание имеет длину \( a \), и когда мы опускаем высоту, она отсекает отрезок длиной 3, а оставшаяся часть равна 5. Или наоборот.

Пусть \( CD = a \), \( AB = b \).

Проведём высоту BH из вершины B на CD. Тогда \( HD = \frac{a-b}{2} \) и \( CH = CD - HD = a - \frac{a-b}{2} = \frac{a+b}{2} \). Также \( CH = AB + HD = b + \frac{a-b}{2} = \frac{2b+a-b}{2} = \frac{a+b}{2} \).

Итак, большее основание делится на два отрезка: \( HD = \frac{a-b}{2} \) и \( CH = \frac{a+b}{2} \).

По условию, эти отрезки равны 3 и 5.

Вариант 1:

\( \frac{a-b}{2} = 3 \) и \( \frac{a+b}{2} = 5 \)

Из первого уравнения: \( a - b = 6 \).

Из второго уравнения: \( a + b = 10 \).

Сложим оба уравнения: \( (a - b) + (a + b) = 6 + 10 \) \( 2a = 16 \) \( a = 8 \).

Подставим \( a=8 \) во второе уравнение: \( 8 + b = 10 \) \( b = 2 \).

Меньшее основание равно 2.

Вариант 2:

\( \frac{a-b}{2} = 5 \) и \( \frac{a+b}{2} = 3 \)

Из первого уравнения: \( a - b = 10 \).

Из второго уравнения: \( a + b = 6 \).

Сложим оба уравнения: \( (a - b) + (a + b) = 10 + 6 \) \( 2a = 16 \) \( a = 8 \).

Подставим \( a=8 \) во второе уравнение: \( 8 + b = 6 \) \( b = -2 \). Это невозможно.

Следовательно, меньшее основание трапеции равно 2.

Ответ: 2.