17. В равнобедренной трапеции с основаниями AD и BC угол В равен 76°. Диагональ АС образует со стороной CD угол 49°. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и меньшим основанием трапеции?

Решение:

Дано: Трапеция ABCD, AB = CD, \(\angle B = 76^\circ\), \(\angle ACD = 49^\circ\). Найти \(\angle CAD\).

1. Так как трапеция равнобедренная, то углы при основании равны: \(\angle D = \angle B = 76^\circ\) и \(\angle BAC = \angle ACD = 49^\circ\) (как накрест лежащие углы при параллельных основаниях AD и BC и секущей AC).
2. \(\angle C + \angle D = 180^\circ\) (как сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции).
3. \(\angle C = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - 76^\circ = 104^\circ\).
4. \(\angle ACB = \angle C - \angle ACD = 104^\circ - 49^\circ = 55^\circ\).
5. Так как AD || BC, то \(\angle CAD = \angle ACB = 55^\circ\) (как накрест лежащие углы при параллельных основаниях AD и BC и секущей AC).

Ответ: 55°.