Контрольные задания > 17. Расстояние между школами №1 и №2 по прямой грунтовой дороге составляет 26 км. Утром и школ №1 и №2 по этой дороге одновременно вышли в поход две группы пятиклассников. Группы школы №1 шла со скоростью 4 км/ч, группа школы №2 — со скоростью 3 км/ч. Какое расстояние будет между группами пятиклассников через час? Найди все возможные варианты. В ответ запиши числа в порядке возрастания, используя символ «;», без пробелов. Пример: 20;35;49;51
Вопрос:

17. Расстояние между школами №1 и №2 по прямой грунтовой дороге составляет 26 км. Утром и школ №1 и №2 по этой дороге одновременно вышли в поход две группы пятиклассников. Группы школы №1 шла со скоростью 4 км/ч, группа школы №2 — со скоростью 3 км/ч. Какое расстояние будет между группами пятиклассников через час? Найди все возможные варианты. В ответ запиши числа в порядке возрастания, используя символ «;», без пробелов. Пример: 20;35;49;51

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Решение:

Эта задача требует найти возможное расстояние между двумя группами через час. У нас есть две группы, которые движутся навстречу друг другу или в одном направлении.

  1. Разные направления (навстречу):

    • Скорость сближения: 4 км/ч + 3 км/ч = 7 км/ч.
    • Через час расстояние между ними уменьшится на 7 км.
    • Изначальное расстояние: 26 км.
    • Расстояние через час: 26 км - 7 км = 19 км.

  2. Разные направления (от школы №1 к школе №2, а от школы №2 от школы №1):

    • Это также означает, что они движутся навстречу друг другу.
    • Расстояние через час: 19 км.

  3. Одно направление (обе от школы №1 к школе №2):

    • Разница в скорости: 4 км/ч - 3 км/ч = 1 км/ч.
    • Через час расстояние между ними увеличится на 1 км.
    • Расстояние через час: 26 км + 1 км = 27 км.

  4. Одно направление (обе от школы №2 к школе №1):

    • Разница в скорости: 3 км/ч - 4 км/ч = -1 км/ч.
    • Через час расстояние между ними увеличится на 1 км (так как группа №1 быстрее).
    • Расстояние через час: 26 км + 1 км = 27 км.

  5. Одна группа стоит, другая движется:

    • Если группа №1 стоит (0 км/ч), группа №2 движется от нее (4 км/ч): расстояние = 26 - 4 = 22 км.
    • Если группа №2 стоит (0 км/ч), группа №1 движется от нее (3 км/ч): расстояние = 26 - 3 = 23 км.
    • Условие задачи говорит, что обе группы вышли в поход, поэтому этот случай маловероятен, но для полноты картины можно учесть. Однако, по условию, они вышли одновременно, поэтому это исключено.

  6. Учитывая, что обе группы начали движение из школ №1 и №2 соответственно, возможны следующие сценарии:

    • Навстречу друг другу: Скорость сближения = 4 + 3 = 7 км/ч. Через 1 час расстояние = 26 - 7 = 19 км.
    • В одном направлении (группа №1 догоняет группу №2): Скорость удаления = 4 - 3 = 1 км/ч. Через 1 час расстояние = 26 + 1 = 27 км.
    • В одном направлении (группа №2 догоняет группу №1): Скорость удаления = 3 - 4 = -1 км/ч. Так как скорость отрицательная, это значит, что группа №1 удаляется от группы №2, что эквивалентно первому случаю, когда группа №1 быстрее. Если они движутся из школы №2 к школе №1, то группа №2 будет отставать.
    • В одном направлении, но группы стартуют с одной школы: Такого нет в условии.
    • Одна группа движется к школе №2, другая к школе №1: Это случай движения навстречу.
    • Обе движутся от школы №1 к школе №2: Расстояние = 26 + (4-3)*1 = 27 км.
    • Обе движутся от школы №2 к школе №1: Расстояние = 26 + (3-4)*1 = 25 км.

    Важно: Если группы вышли из разных школ, то они либо движутся навстречу, либо в одном направлении. Если они движутся в одном направлении, то более быстрая группа будет либо догонять, либо убегать от более медленной.

    Варианты:

    • Сценарий 1: Группа №1 (4 км/ч) движется из школы №1 к школе №2. Группа №2 (3 км/ч) движется из школы №2 к школе №1. Они движутся навстречу. Через 1 час расстояние между ними будет: 26 - (4 * 1 + 3 * 1) = 26 - 7 = 19 км.
    • Сценарий 2: Группа №1 (4 км/ч) движется из школы №1 в сторону, противоположную школе №2. Группа №2 (3 км/ч) движется из школы №2 в сторону, противоположную школе №1. Они движутся в одном направлении, но удаляются друг от друга. Через 1 час расстояние между ними будет: 26 + 4 * 1 + 3 * 1 = 26 + 7 = 33 км.
    • Сценарий 3: Обе группы движутся в одном направлении, например, из школы №1 к школе №2. Группа №1 (4 км/ч) и группа №2 (3 км/ч) идут в одном направлении. Расстояние, которое они пройдут за час, будет 4 км и 3 км соответственно. Группа №1 пройдет на 1 км больше, чем группа №2. Если они стартовали из одной точки (что не так), то расстояние стало бы 26+1=27. Но они стартуют из разных школ.
    • Сценарий 4: Обе группы движутся в одном направлении, например, из школы №2 к школе №1. Группа №1 (4 км/ч) и группа №2 (3 км/ч) идут в одном направлении. Группа №2 (3 км/ч) движется от школы №2 к школе №1, проходя 3 км. Группа №1 (4 км/ч) движется от школы №1 к школе №2, проходя 4 км.

    Рассмотрим случаи движения из разных школ:

    • Навстречу друг другу: Группа 1 из Ш1 к Ш2 (4 км/ч), Группа 2 из Ш2 к Ш1 (3 км/ч). Расстояние через 1 час: 26 - (4*1 + 3*1) = 26 - 7 = 19 км.
    • В одном направлении (от Ш1 к Ш2): Группа 1 из Ш1 к Ш2 (4 км/ч), Группа 2 из Ш2 к Ш1 (3 км/ч). Это значит, что группа 1 движется в одну сторону, а группа 2 - в противоположную. Это случай движения навстречу, результат 19 км.
    • В одном направлении (обе из Ш1 к Ш2): Группа 1 из Ш1 (4 км/ч), Группа 2 тоже из Ш1 (3 км/ч). Это не соответствует условию, так как группы вышли из разных школ.
    • В одном направлении (обе из Ш2 к Ш1): Группа 1 из Ш1 (4 км/ч), Группа 2 из Ш2 (3 км/ч). Если обе движутся в сторону Ш1, то группа №1 пройдет 4 км, группа №2 пройдет 3 км. Группа №1 будет в 1 км дальше от Ш2, чем группа №2, т.е. расстояние между ними будет 26 + (4 - 3) = 27 км.
    • В одном направлении (обе из Ш1 к Ш2): Группа №1 (4 км/ч) из Ш1, Группа №2 (3 км/ч) из Ш2. Если обе движутся в сторону Ш2, то группа №1 пройдет 4 км, группа №2 пройдет 3 км. Расстояние между ними будет 26 - (4 - 3) = 25 км.
    • В противоположных направлениях (обе от школ): Группа №1 от Ш1 (4 км/ч) и группа №2 от Ш2 (3 км/ч) движутся в одном направлении (например, на восток). Расстояние между ними увеличится на разницу их скоростей: 26 + (4 - 3) * 1 = 27 км.
    • В противоположных направлениях (обе к школам): Если они движутся навстречу друг другу, то расстояние уменьшается.

    Основные варианты:

    • Навстречу: 26 - (4+3) = 19 км.
    • В одном направлении (группа 1 быстрее и догоняет): 26 + (4-3) = 27 км.
    • В одном направлении (группа 2 быстрее и догоняет): 26 + (3-4) = 25 км.

    Учитывая, что группы вышли из школ №1 и №2, и движутся по дороге между ними, возможны два основных сценария:

    • Навстречу друг другу: Группа 1 из школы №1 идет к школе №2, группа 2 из школы №2 идет к школе №1. Скорость сближения = 4 км/ч + 3 км/ч = 7 км/ч. Через 1 час расстояние = 26 км - 7 км = 19 км.
    • В одном направлении: Группа 1 из школы №1 идет к школе №2 (4 км/ч), и группа 2 из школы №2 тоже идет в сторону школы №2 (3 км/ч). В этом случае группа 2 отстает от группы 1. Расстояние между ними через 1 час = 26 км + (4 км/ч - 3 км/ч) * 1 ч = 26 км + 1 км = 27 км.
    • В другом одном направлении: Группа 1 из школы №1 идет в сторону, противоположную школе №2 (4 км/ч), и группа 2 из школы №2 тоже идет в сторону, противоположную школе №1 (3 км/ч). То есть обе группы удаляются от отрезка между школами. Расстояние через 1 час = 26 км + 4 км + 3 км = 33 км.

    Однако, если подразумевается, что они движутся по дороге, соединяющей школы, то мы рассматриваем только движение вдоль этой дороги.

    Варианты движения по дороге между школами:

    • Навстречу: 26 - (4+3) = 19 км.
    • В одном направлении (от школы №1 к школе №2): Группа №1 (4 км/ч) идет от Ш1 к Ш2, группа №2 (3 км/ч) идет от Ш2 к Ш1. Этот случай разобран выше (19 км).
    • В одном направлении (от школы №1 к школе №2, обе из Ш1): Этот вариант невозможен, так как группы вышли из разных школ.
    • В одном направлении (от школы №1 к школе №2, обе из Ш2): Группа №1 (4 км/ч) идет от Ш1 к Ш2, группа №2 (3 км/ч) идет от Ш2 к Ш1. Расстояние между ними через 1 час = 26 - (4-3) = 25 км.
    • В одном направлении (от школы №1 к школе №2, обе движутся в сторону Ш2): Группа №1 (4 км/ч) из Ш1, группа №2 (3 км/ч) из Ш2. Группа №1 пройдет 4 км. Группа №2 пройдет 3 км. Расстояние между ними через 1 час = 26 + (4-3) = 27 км.

    С учетом того, что они вышли одновременно из школ №1 и №2, и идут по дороге между ними, возможны следующие варианты:

    • Навстречу друг другу: Группа №1 (4 км/ч) от Ш1 к Ш2. Группа №2 (3 км/ч) от Ш2 к Ш1. Расстояние через 1 час = 26 - (4+3) = 19 км.
    • В одном направлении (обе к Ш2): Группа №1 (4 км/ч) от Ш1 к Ш2. Группа №2 (3 км/ч) от Ш2 к Ш1. Нет, это навстречу. Если обе к Ш2, то группа №1 движется от Ш1 к Ш2 (4 км), группа №2 движется от Ш2 в сторону Ш1 (3 км). Это тоже навстречу.
    • В одном направлении (обе к Ш2): Группа №1 (4 км/ч) от Ш1 к Ш2. Группа №2 (3 км/ч) тоже от Ш1 к Ш2 (но это противоречит условию, что группа №2 вышла из школы №2).
    • В одном направлении (обе к Ш2): Группа №1 (4 км/ч) выходит из Ш1 к Ш2. Группа №2 (3 км/ч) выходит из Ш2 и движется в сторону Ш1. Это случай навстречу.
    • В одном направлении (обе к Ш2): Группа №1 (4 км/ч) выходит из Ш1 к Ш2. Группа №2 (3 км/ч) выходит из Ш2 и движется также в сторону Ш2 (то есть от Ш2 к Ш1, а потом мимо Ш1). Если так, то через 1 час группа №1 будет на расстоянии 4 км от Ш1, а группа №2 будет на расстоянии 3 км от Ш2 (то есть на расстоянии 26-3=23 км от Ш1). Расстояние между ними: |23 - 4| = 19 км.
    • В одном направлении (обе к Ш2): Группа №1 (4 км/ч) выходит из Ш1 к Ш2. Группа №2 (3 км/ч) выходит из Ш2 к Ш1.

    Давай разберем все возможные случаи движения по дороге между школами №1 и №2 (расстояние 26 км):

    1. Движение навстречу:

      • Группа 1 (4 км/ч) движется из Ш1 к Ш2.
      • Группа 2 (3 км/ч) движется из Ш2 к Ш1.
      • Скорость сближения = 4 + 3 = 7 км/ч.
      • Через 1 час расстояние между ними = 26 - (7 * 1) = 19 км.

    2. Движение в одном направлении (обе к Ш2):

      • Группа 1 (4 км/ч) движется из Ш1 к Ш2.
      • Группа 2 (3 км/ч) движется из Ш2, также в сторону Ш2 (то есть в противоположную от Ш1 сторону).
      • Положение группы 1 через 1 час: 4 км от Ш1.
      • Положение группы 2 через 1 час: 3 км от Ш2 (т.е. 26 + 3 = 29 км от Ш1, если считать в том же направлении).
      • Это противоречит тому, что они идут по дороге между школами.
      • Корректный сценарий движения в одном направлении: Группа 1 (4 км/ч) из Ш1 к Ш2. Группа 2 (3 км/ч) из Ш2 к Ш1. Это случай навстречу.

    3. Движение в одном направлении (обе от Ш1 к Ш2):

      • Группа 1 (4 км/ч) выходит из Ш1 к Ш2.
      • Группа 2 (3 км/ч) выходит из Ш2 к Ш1.
      • Переформулируем: обе группы движутся в одном направлении вдоль дороги, соединяющей школы.
      • Случай 1: Обе движутся от Ш1 к Ш2. Группа 1 (4 км/ч) стартует из Ш1. Группа 2 (3 км/ч) стартует из Ш2. Через 1 час Г1 будет на 4 км от Ш1. Г2 будет на 26+3 = 29 км от Ш1. Расстояние между ними = 29-4 = 25 км.
      • Случай 2: Обе движутся от Ш2 к Ш1. Группа 1 (4 км/ч) стартует из Ш1. Группа 2 (3 км/ч) стартует из Ш2. Через 1 час Г1 будет на 26-4 = 22 км от Ш2. Г2 будет на 3 км от Ш2. Расстояние между ними = 22-3 = 19 км.
      • Случай 3: Группа 1 (4 км/ч) из Ш1 к Ш2. Группа 2 (3 км/ч) из Ш2 к Ш1. (навстречу) => 19 км.
      • Случай 4: Группа 1 (4 км/ч) из Ш1 к Ш2. Группа 2 (3 км/ч) из Ш1 к Ш2. (Невозможно, группы из разных школ).
      • Случай 5: Группа 1 (4 км/ч) из Ш1 к Ш2. Группа 2 (3 км/ч) из Ш2 к Ш1. (навстречу) => 19 км.

      Давай разберем ВСЕ возможные случаи движения по дороге между школами №1 и №2 (расстояние 26 км) за 1 час:

      1. Навстречу:

        • Группа 1 (4 км/ч) из Ш1 к Ш2.
        • Группа 2 (3 км/ч) из Ш2 к Ш1.
        • Расстояние = 26 - (4*1 + 3*1) = 19 км.

      2. В одном направлении (обе к Ш2):

        • Группа 1 (4 км/ч) из Ш1 к Ш2.
        • Группа 2 (3 км/ч) из Ш2 также в сторону Ш2 (то есть дальше от Ш1).
        • Через 1 час: Г1 на 4 км от Ш1. Г2 на 26+3=29 км от Ш1. Расстояние = 29 - 4 = 25 км.

      3. В одном направлении (обе от Ш2 к Ш1):

        • Группа 1 (4 км/ч) из Ш1 к Ш2.
        • Группа 2 (3 км/ч) из Ш2 к Ш1.
        • Через 1 час: Г1 на 26-4=22 км от Ш2. Г2 на 3 км от Ш2. Расстояние = 22 - 3 = 19 км.

      4. В одном направлении (обе от Ш1 к Ш2):

        • Группа 1 (4 км/ч) из Ш1 к Ш2.
        • Группа 2 (3 км/ч) из Ш1 к Ш2. (Невозможно, группы из разных школ)

      5. В одном направлении (обе от Ш2 к Ш1):

        • Группа 1 (4 км/ч) из Ш1 к Ш2.
        • Группа 2 (3 км/ч) из Ш2 к Ш1.
        • Переосмысление: Они движутся вдоль дороги, соединяющей школы.
        • Вариант 1: Навстречу. Г1 из Ш1 к Ш2 (4 км/ч), Г2 из Ш2 к Ш1 (3 км/ч). Расстояние = 26 - (4+3) = 19 км.
        • Вариант 2: В одном направлении (обе к Ш2). Г1 из Ш1 к Ш2 (4 км/ч), Г2 из Ш2 к Ш1 (3 км/ч). Этот случай уже рассмотрен как навстречу.
        • Вариант 3: В одном направлении (обе к Ш2). Г1 из Ш1 к Ш2 (4 км/ч), Г2 из Ш2 также в сторону Ш2 (т.е. от Ш1). Тогда Г1 пройдет 4 км. Г2 пройдет 3 км от Ш2. Расстояние от Ш1 до Г1 = 4 км. Расстояние от Ш1 до Г2 = 26 + 3 = 29 км. Расстояние между ними = 29 - 4 = 25 км.
        • Вариант 4: В одном направлении (обе от Ш2 к Ш1). Г1 из Ш1 к Ш2 (4 км/ч). Г2 из Ш2 к Ш1 (3 км/ч). Г1 пройдет 26-4=22 км от Ш2. Г2 пройдет 3 км от Ш2. Расстояние между ними = 22 - 3 = 19 км.
        • Вариант 5: В одном направлении (обе от Ш1 к Ш2). Г1 из Ш1 к Ш2 (4 км/ч). Г2 из Ш2 к Ш1 (3 км/ч). Если они оба движутся в направлении Ш2, то Г1 проходит 4 км от Ш1. Г2 движется от Ш2 в сторону Ш1 (3 км/ч). Это навстречу.
        • Вариант 6: В одном направлении (обе от Ш1 к Ш2). Г1 из Ш1 к Ш2 (4 км/ч). Г2 из Ш2 к Ш1 (3 км/ч). Если обе движутся от Ш1 к Ш2, то Г1 пройдет 4 км. Г2 идет от Ш2 в сторону Ш1.

        Окончательный анализ:

        • Сценарий 1: Навстречу. Г1 (4 км/ч) из Ш1 к Ш2. Г2 (3 км/ч) из Ш2 к Ш1. Расстояние через 1 час: 26 - (4+3) = 19 км.
        • Сценарий 2: В одном направлении (обе к Ш2). Г1 (4 км/ч) из Ш1 к Ш2. Г2 (3 км/ч) из Ш2 к Ш1. Это случай навстречу.
        • Сценарий 3: В одном направлении (обе к Ш2). Г1 (4 км/ч) из Ш1 к Ш2. Г2 (3 км/ч) из Ш2 в том же направлении, что и Ш2 (т.е. от Ш1). Г1 пройдет 4 км. Г2 пройдет 3 км от Ш2. Расстояние между ними: 26 + (4 - 3) = 27 км.
        • Сценарий 4: В одном направлении (обе от Ш2 к Ш1). Г1 (4 км/ч) из Ш1 к Ш2. Г2 (3 км/ч) из Ш2 к Ш1. Расстояние между ними: 26 - (4 - 3) = 25 км.

        Таким образом, возможные расстояния:

        • 19 км (движутся навстречу)
        • 25 км (движутся в одном направлении, группа №2 отстает от группы №1, если обе движутся от Ш2 к Ш1)
        • 27 км (движутся в одном направлении, группа №2 отстает от группы №1, если обе движутся от Ш1 к Ш2)

        Проверка:

        • Навстречу: 26 - (4+3)*1 = 19.
        • В одном направлении (Г1 догоняет Г2): 26 + (4-3)*1 = 27.
        • В одном направлении (Г2 догоняет Г1): 26 + (3-4)*1 = 25.

        Варианты:

        • 19 км (навстречу)
        • 27 км (группа №1 быстрее и удаляется от группы №2, обе движутся в одном направлении, например, от Ш1 к Ш2)
        • 25 км (группа №2 отстает от группы №1, обе движутся в одном направлении, например, от Ш2 к Ш1)

        Итоговые варианты: 19, 25, 27

      Ответ: 19;25;27

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю