17. Площадь параллелограмма ABCD равна 5. Точка E — середина стороны AD. Найдите площадь трапеции AECB.

Решение:

Площадь параллелограмма ABCD равна 5. Это значит, что \( S_{ABCD} = 5 \).

Точка E — середина стороны AD. Это значит, что \( AE = ED \).

Площадь треугольника ABE равна половине площади параллелограмма, если бы E была серединой стороны AB, но здесь E середина AD. Проведем диагональ BD. Треугольник ABD и BCD имеют равные площади, так как основания AD и BC равны, а высоты, проведенные из B к AD и из D к BC, равны. Площадь каждого треугольника равна половине площади параллелограмма: \( S_{ABD} = S_{BCD} = \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{5}{2} = 2.5 \).

Рассмотрим треугольник ABD. E — середина AD. Высота треугольника ABE, проведенная из вершины B к основанию AD, совпадает с высотой треугольника ABD. Так как основания AE и ED равны, то площади треугольников ABE и EBD равны: \( S_{ABE} = S_{EBD} = \frac{1}{2} S_{ABD} = \frac{1}{2} \times 2.5 = 1.25 \).

Трапеция AECB состоит из треугольника ABE и треугольника BCD. Однако, это неверное предположение. Трапеция AECB состоит из треугольника ABE и треугольника BCE.

Альтернативный подход: площадь трапеции AECB равна сумме площадей треугольников ABE и BCE. Площадь треугольника ABE равна 1.25.

Рассмотрим треугольник BCD. Его площадь равна 2.5. Трапеция AECB — это параллелограмм ABCD минус треугольник ECD. Площадь треугольника ECD равна половине площади треугольника BCD, так как у них общее основание CD, а высота, проведенная из E к CD, в два раза меньше высоты параллелограмма (если проводить высоту из B к AD, то E находится на середине AD, и расстояние от E до CD будет равно половине высоты параллелограмма).

Давайте использовать формулу площади параллелограмма: \( S_{ABCD} = AD \times h \), где h — высота, проведенная к стороне AD.

Площадь трапеции AECB равна \( S_{AECB} = S_{ABCD} - S_{ECD} \).

Треугольник ECD имеет основание ED. Так как E — середина AD, то \( ED = \frac{1}{2} AD \).

Высота треугольника ECD, проведенная из вершины C к прямой AD, равна высоте параллелограмма, проведенной к стороне AD. Пусть эта высота равна h.

Тогда \( S_{ECD} = \frac{1}{2} \times ED \times h = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} AD) \times h = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} AD \times h) = \frac{1}{2} S_{ABCD} \).

Следовательно, \( S_{ECD} = \frac{1}{2} \times 5 = 2.5 \).

Площадь трапеции AECB равна \( S_{AECB} = S_{ABCD} - S_{ECD} = 5 - 2.5 = 2.5 \).

Другой способ:

Площадь параллелограмма ABCD равна 5. Диагональ AC делит параллелограмм на два равных треугольника: \( S_{ABC} = S_{ADC} = \frac{1}{2} S_{ABCD} = 2.5 \).

E — середина AD. Площадь треугольника AEC равна половине площади треугольника ADC, так как у них общая вершина C, а основание AE равно половине основания AD.

\( S_{AEC} = \frac{1}{2} S_{ADC} = \frac{1}{2} \times 2.5 = 1.25 \).

Площадь трапеции AECB равна сумме площадей треугольника ABC и треугольника AEC.

\( S_{AECB} = S_{ABC} + S_{AEC} = 2.5 + 1.25 = 3.75 \).

Давайте проверим: Площадь параллелограмма ABCD = 5. E — середина AD. Трапеция AECB.

Можно рассматривать трапецию AECB как параллелограмм ABCD минус треугольник ECD.

Площадь параллелограмма ABCD = 5.

Площадь треугольника ECD. Основание ED = \( \frac{1}{2} AD \). Высота, проведенная из C к AD, равна высоте параллелограмма h.

\( S_{ECD} = \frac{1}{2} \times ED \times h = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} AD) \times h = \frac{1}{4} AD \times h = \frac{1}{4} S_{ABCD} = \frac{5}{4} = 1.25 \).

\( S_{AECB} = S_{ABCD} - S_{ECD} = 5 - 1.25 = 3.75 \).

Проверим еще раз. Площадь параллелограмма ABCD = 5.

Площадь треугольника ABE. Основание AE = \( \frac{1}{2} AD \). Высота, проведенная из B к AD, равна h.

\( S_{ABE} = \frac{1}{2} \times AE \times h = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} AD) \times h = \frac{1}{4} AD \times h = \frac{1}{4} S_{ABCD} = \frac{5}{4} = 1.25 \).

Площадь треугольника BCE. Основание BC. Высота, проведенная из E к BC, равна половине высоты параллелограмма, если BC параллельна AD. Но E не лежит на средней линии. Это более сложно.

Рассмотрим диагональ AC. \( S_{ABC} = S_{ADC} = 2.5 \).

E — середина AD. В треугольнике ADC, E — середина AD. Тогда площадь треугольника AEC = \( \frac{1}{2} S_{ADC} = \frac{1}{2} \times 2.5 = 1.25 \).

Площадь трапеции AECB = \( S_{ABC} + S_{AEC} = 2.5 + 1.25 = 3.75 \).

Ответ: 3.75