17. Найдите острый угол параллелограмма ABCD, если биссектриса угла А образует со стороной BC угол, равный 21°. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Обозначим угол между биссектрисой угла А и стороной BC как \( ∠BKC \).

По условию \( ∠BKC = 21^{\circ} \).

Поскольку ABCD — параллелограмм, то BC \( \parallel \) AD.

Биссектриса угла A делит угол \( ∠A \) пополам. Пусть \( ∠BAK = ∠DAK = \alpha \).

Угол \( ∠DAK \) и угол \( ∠AKB \) являются накрест лежащими при параллельных прямых BC и AD и секущей AK. Следовательно, \( ∠AKB = ∠DAK = \alpha \).

Рассмотрим треугольник ABK. Сумма углов в треугольнике равна 180°.

\( ∠BAK + ∠ABK + ∠AKB = 180^{\circ} \)

\( \alpha + 90^{\circ} + \alpha = 180^{\circ} \) (так как AB \( \perp \) BK, \( ∠ABK = 90^{\circ} \) - это неверное предположение, угол BKC = 21, а не AKB)

Пересмотрим условие.

Пусть \( AK \) — биссектриса \( ∠A \). Тогда \( ∠BAK = ∠DAK \).

\( BC \parallel AD \), значит \( ∠BCA = ∠DAK \) (накрест лежащие углы при параллельных BC, AD и секущей AC).

По условию, биссектриса угла A образует со стороной BC угол 21°.

Рассмотрим рисунок: биссектриса угла A (AK) и сторона BC. Угол между ними равен 21°.

Если биссектриса AK пересекает сторону BC в точке K, то угол \( ∠AKB = 21^{\circ} \) (как накрест лежащий с \( ∠DAK \)).

Пусть \( ∠BAK = ∠DAK = \alpha \).

\( ∠AKB = ∠DAK = \alpha \) (накрест лежащие углы при \( BC \parallel AD \) и секущей AK).

В треугольнике ABK: \( ∠ABK + ∠BAK + ∠AKB = 180^{\circ} \).

\( ∠ABK + \alpha + \alpha = 180^{\circ} \).

\( ∠ABK = 180^{\circ} - 2\alpha \).

ИЛИ

Рассмотрим угол, образованный биссектрисой и стороной BC. По условию, этот угол равен 21°.

Пусть биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке K. Тогда \( ∠AKB = 21^{\circ} \).

\( BC \parallel AD \), поэтому \( ∠DAK = ∠AKB = 21^{\circ} \) (как накрест лежащие углы).

Так как AK — биссектриса угла A, то \( ∠BAK = ∠DAK = 21^{\circ} \).

Угол \( ∠A \) параллелограмма равен сумме этих углов: \( ∠A = ∠BAK + ∠DAK = 21^{\circ} + 21^{\circ} = 42^{\circ} \).

Угол \( ∠A \) является острым углом параллелограмма.

Ответ: 42.