№17. Через пункты А и Б, расстояние между которыми 180 км, проходит прямолинейное шоссе. Из пунктов А и Б по этому шоссе одновременно начали движение автомобиль и грузовик. Автомобиль едет с постоянной скоростью 95 км/ч, грузовик — с постоянной скоростью 85 км/ч, оба не делают остановок. Какое расстояние будет между ними через час после начала движения? Найдите все возможные варианты.

Анализ задачи

Нам нужно найти расстояние между автомобилем и грузовиком через 1 час после начала движения. Есть два возможных сценария: они движутся навстречу друг другу или в одном направлении.

Сценарий 1: Движение в одном направлении

1. Расстояние, пройденное автомобилем за 1 час:

   Скорость автомобиля = 95 км/ч.

   Время = 1 час.

   Расстояние = Скорость  Время = 95 км/ч  1 ч = 95 км.

2. Расстояние, пройденное грузовиком за 1 час:

   Скорость грузовика = 85 км/ч.

   Время = 1 час.

   Расстояние = Скорость  Время = 85 км/ч  1 ч = 85 км.

3. Расстояние между ними:

   Предположим, оба стартуют из пункта А. Автомобиль, будучи быстрее, уедет дальше.

   Разница в расстоянии = Расстояние автомобиля - Расстояние грузовика = 95 км - 85 км = 10 км.

   Если они стартуют из разных пунктов (А и Б) в одном направлении (например, автомобиль из А в сторону Б, а грузовик из Б тоже в сторону движения автомобиля), то начальное расстояние между ними 180 км. После 1 часа:

   Автомобиль проехал 95 км.

   Грузовик проехал 85 км.

   Разница в пройденном пути = 95 км - 85 км = 10 км.

   Если автомобиль едет из А в сторону Б, а грузовик из Б в сторону, противоположную движению автомобиля, то через час расстояние будет 180 км + 95 км + 85 км = 360 км. Но в условии сказано, что они движутся "по этому шоссе", что обычно подразумевает движение в одном направлении или навстречу.

   Если они движутся в одном направлении, и автомобиль стартует из А, а грузовик из Б, то:

   Положение автомобиля = 95 км от А.

   Положение грузовика = 180 км (от А) + 85 км = 265 км от А.

   Расстояние = 265 км - 95 км = 170 км.

   Или, если грузовик едет навстречу автомобилю из пункта Б:

   Положение автомобиля = 95 км от А.

   Положение грузовика = 180 км (от А) - 85 км = 95 км от А.

   В этом случае они встретились, и расстояние между ними 0 км.

Сценарий 2: Движение навстречу друг другу

1. Расстояние, пройденное автомобилем за 1 час: 95 км.
2. Расстояние, пройденное грузовиком за 1 час: 85 км.
3. Общее пройденное расстояние:

   Суммарная скорость = Скорость автомобиля + Скорость грузовика = 95 км/ч + 85 км/ч = 180 км/ч.

   За 1 час они вместе преодолеют 180 км.

4. Расстояние между ними:

   Начальное расстояние = 180 км.

   Пройденное расстояние за 1 час = 180 км.

   Расстояние между ними = Начальное расстояние - Общее пройденное расстояние = 180 км - 180 км = 0 км.

Возможные варианты:

Учитывая, что они стартуют из пунктов А и Б, расстояние между которыми 180 км, и движутся по одному шоссе, возможны следующие варианты:

• 1. Движение навстречу друг другу:

  Автомобиль из А, грузовик из Б. Скорость сближения = 95 + 85 = 180 км/ч. Через 1 час они пройдут 180 км и встретятся. Расстояние между ними будет 0 км.

• 2. Движение в одном направлении (автомобиль догоняет грузовик):

  Предположим, они оба движутся из А в сторону Б. Автомобиль стартует из А, грузовик из А. Через 1 час автомобиль будет на отметке 95 км, грузовик на отметке 85 км. Расстояние между ними = 95 - 85 = 10 км.

• 3. Движение в одном направлении (грузовик стартует из Б, автомобиль из А, оба в сторону Б):

  Автомобиль стартует из А (0 км), грузовик из Б (180 км). Оба движутся в сторону Б (увеличение координаты).

  Положение автомобиля через 1 час: 0 + 95 = 95 км.

  Положение грузовика через 1 час: 180 + 85 = 265 км.

  Расстояние между ними: 265 - 95 = 170 км.

• 4. Движение в одном направлении (автомобиль стартует из Б, грузовик из А, оба в сторону А):

  Автомобиль стартует из Б (180 км), грузовик из А (0 км). Оба движутся в сторону А (уменьшение координаты).

  Положение автомобиля через 1 час: 180 - 95 = 85 км.

  Положение грузовика через 1 час: 0 - 85 = -85 км.

  Расстояние между ними: 85 - (-85) = 170 км.

• 5. Движение в одном направлении (автомобиль стартует из Б, грузовик из А, оба в сторону Б):

  Автомобиль стартует из Б (180 км), грузовик из А (0 км). Оба движутся в сторону Б (увеличение координаты).

  Положение автомобиля через 1 час: 180 + 95 = 275 км.

  Положение грузовика через 1 час: 0 + 85 = 85 км.

  Расстояние между ними: 275 - 85 = 190 км.

• 6. Движение в одном направлении (автомобиль стартует из А, грузовик из Б, оба в сторону А):

  Автомобиль стартует из А (0 км), грузовик из Б (180 км). Оба движутся в сторону А (уменьшение координаты).

  Положение автомобиля через 1 час: 0 - 95 = -95 км.

  Положение грузовика через 1 час: 180 - 85 = 95 км.

  Расстояние между ними: 95 - (-95) = 190 км.

Важно: Условие "Из пунктов А и Б" может означать, что они стартуют именно из этих пунктов, а не из одной точки. Тогда нужно учитывать начальное расстояние.

Рассмотрим сценарии, где они стартуют из пунктов А и Б:

1. Движение навстречу:

   Автомобиль из А, грузовик из Б. Через 1 час пройденное расстояние составит 95 + 85 = 180 км. Они встретятся. Расстояние = 0 км.

2. Движение в одном направлении (из А в сторону Б):

   Автомобиль из А (0 км), грузовик из Б (180 км).

   Позиция авто через 1 час: 95 км.

   Позиция грузовика через 1 час: 180 + 85 = 265 км.

   Расстояние = 265 - 95 = 170 км.

3. Движение в одном направлении (из Б в сторону А):

   Автомобиль из А (0 км), грузовик из Б (180 км).

   Позиция авто через 1 час: 0 - 95 = -95 км.

   Позиция грузовика через 1 час: 180 - 85 = 95 км.

   Расстояние = 95 - (-95) = 190 км.

4. Движение в одном направлении (автомобиль из Б, грузовик из А, оба в сторону Б):

   Автомобиль из Б (180 км), грузовик из А (0 км).

   Позиция авто через 1 час: 180 + 95 = 275 км.

   Позиция грузовика через 1 час: 0 + 85 = 85 км.

   Расстояние = 275 - 85 = 190 км.

5. Движение в одном направлении (автомобиль из Б, грузовик из А, оба в сторону А):

   Автомобиль из Б (180 км), грузовик из А (0 км).

   Позиция авто через 1 час: 180 - 95 = 85 км.

   Позиция грузовика через 1 час: 0 - 85 = -85 км.

   Расстояние = 85 - (-85) = 170 км.

Окончательные возможные варианты:

1. 0 км (движение навстречу друг другу)
2. 10 км (движение в одном направлении, если оба стартуют из одной точки, но в условии сказано "из пунктов А и Б")
3. 170 км (движение в одном направлении, когда более быстрый автомобиль стартует из более далекого пункта или движется в противоположном направлении относительно грузовика, но по тому же шоссе)
4. 190 км (движение в одном направлении, когда более быстрый автомобиль стартует из более близкого пункта или движется в одном направлении с грузовиком)

Формализуем:

Пусть $$d = 180$$ км — начальное расстояние между пунктами А и Б.

Скорость автомобиля $$v_a = 95$$ км/ч.

Скорость грузовика $$v_g = 85$$ км/ч.

Время $$t = 1$$ час.

Расстояние, пройденное автомобилем: $$S_a = v_a imes t = 95 imes 1 = 95$$ км.

Расстояние, пройденное грузовиком: $$S_g = v_g imes t = 85 imes 1 = 85$$ км.

Случай 1: Движение навстречу друг другу.

Расстояние между ними = $$d - (S_a + S_g) = 180 - (95 + 85) = 180 - 180 = 0$$ км.

Случай 2: Движение в одном направлении (из А в сторону Б).

Автомобиль стартует из А, грузовик из Б. Через 1 час:

Положение автомобиля: $$0 + S_a = 95$$ км.

Положение грузовика: $$d + S_g = 180 + 85 = 265$$ км.

Расстояние между ними: $$|(d + S_g) - S_a| = |265 - 95| = 170$$ км.

Случай 3: Движение в одном направлении (из Б в сторону А).

Автомобиль стартует из А, грузовик из Б. Через 1 час:

Положение автомобиля: $$0 - S_a = -95$$ км.

Положение грузовика: $$d - S_g = 180 - 85 = 95$$ км.

Расстояние между ними: $$|(d - S_g) - (-S_a)| = |95 - (-95)| = 190$$ км.

Случай 4: Движение в одном направлении (автомобиль из Б, грузовик из А, оба в сторону Б).

Автомобиль стартует из Б, грузовик из А.

Положение автомобиля: $$d + S_a = 180 + 95 = 275$$ км.

Положение грузовика: $$0 + S_g = 85$$ км.

Расстояние между ними: $$|(d + S_a) - S_g| = |275 - 85| = 190$$ км.

Случай 5: Движение в одном направлении (автомобиль из Б, грузовик из А, оба в сторону А).

Автомобиль стартует из Б, грузовик из А.

Положение автомобиля: $$d - S_a = 180 - 95 = 85$$ км.

Положение грузовика: $$0 - S_g = -85$$ км.

Расстояние между ними: $$|(d - S_a) - (-S_g)| = |85 - (-85)| = 170$$ км.

Возможные варианты расстояний:

• 0 км (навстречу)
• 170 км (в одном направлении)
• 190 км (в одном направлении)

Ответ: 0 км, 170 км, 190 км.