17. (3 балла) При помощи производной исследуйте функцию у=1/3x³+x²-3х на промежутки возрастания, убывания и точки экстремума.

Решение:

Чтобы исследовать функцию \( y = \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x \) на промежутки возрастания, убывания и точки экстремума, найдём её производную и определим её знаки.

1. Найдём производную функции:

\[ y' = \left( \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x \right)' \]\[ y' = \frac{1}{3} · 3x^2 + 2x - 3 \]\[ y' = x^2 + 2x - 3 \]

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = 2^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \).

\[ x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \]\[ x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 - 4}{2} = -3 \]

Критические точки: \( x = -3 \) и \( x = 1 \).

3. Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками:

Разделим числовую ось на интервалы: \( (-\infty; -3) \), \( (-3; 1) \) и \( (1; \infty) \).

• Возьмём \( x = -4 \) (интервал \( (-\infty; -3) \)): \( y'(-4) = (-4)^2 + 2(-4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5 > 0 \). Функция возрастает.
• Возьмём \( x = 0 \) (интервал \( (-3; 1) \)): \( y'(0) = 0^2 + 2(0) - 3 = -3 < 0 \). Функция убывает.
• Возьмём \( x = 2 \) (интервал \( (1; \infty) \)): \( y'(2) = 2^2 + 2(2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 > 0 \). Функция возрастает.

4. Определим точки экстремума:

В точке \( x = -3 \) производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка максимума.

\( y_{max} = y(-3) = \frac{1}{3}(-3)^3 + (-3)^2 - 3(-3) = \frac{1}{3}(-27) + 9 + 9 = -9 + 9 + 9 = 9 \).

В точке \( x = 1 \) производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума.

\( y_{min} = y(1) = \frac{1}{3}(1)^3 + (1)^2 - 3(1) = \frac{1}{3} + 1 - 3 = \frac{1}{3} - 2 = \frac{1 - 6}{3} = -\frac{5}{3} \).

Выводы:

• Функция возрастает на промежутках \( (-\infty; -3] \) и \( [1; \infty) \).
• Функция убывает на промежутке \( [-3; 1] \).
• Точка максимума: \( (-3; 9) \).
• Точка минимума: \( (1; -\frac{5}{3}) \).

Ответ: Функция возрастает на \( (-\infty; -3] \) и \( [1; \infty) \), убывает на \( [-3; 1] \). Точка максимума: \( (-3; 9) \), точка минимума: \( (1; -\frac{5}{3}) \).