17.23. Спростіть вираз: 1) 4b/(a²−b²)+(a−b)/(a²+ab)+(a+b)/(b²−ab); 2) 1/(x−2)+1/(x+2)−x/(x²−4)+(x²+4)/(8x−2x³); 3) 1/(a−5b)²−2/(a²−25b²)+1/(a+5b)²; 4) (x²+9x+18)/(xy+3y−2x−6)−(x+5)/(y−2).

Используем разложение на множители и приведение дробей к общему знаменателю.

1. ОДЗ: \(a\ne0\), \(b\ne0\), \(a\ne b\), \(a\ne -b\).

   \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), \(a^2+ab=a(a+b)\), \(b^2-ab=b(b-a)=-b(a-b)\).

   Тогда

   \(\frac{4b}{(a-b)(a+b)}+\frac{a-b}{a(a+b)}-\frac{a+b}{b(a-b)}\).

   После приведения к общему знаменателю \(ab(a-b)(a+b)\):

   \(\frac{4ab^2+b(a-b)^2-a(a+b)^2}{ab(a-b)(a+b)}\).

   Раскрываем скобки:

   \(4ab^2+b(a^2-2ab+b^2)-a(a^2+2ab+b^2)\)

   \(=4ab^2+a^2b-2ab^2+b^3-a^3-2a^2b-ab^2\)

   \(=-a^3-a^2b+ab^2+b^3=(b-a)(a+b)^2\).

   Следовательно, \(\frac{(b-a)(a+b)^2}{ab(a-b)(a+b)}=-\frac{a+b}{ab}\).

   Ответ: \(-\frac{a+b}{ab}\).

2. ОДЗ: \(x\ne -2\), \(x\ne0\), \(x\ne2\).

   \(x^2-4=(x-2)(x+2)\), \(8x-2x^3=2x(4-x^2)=-2x(x-2)(x+2)\).

   \(\frac1{x-2}+\frac1{x+2}-\frac{x}{(x-2)(x+2)}-\frac{x^2+4}{2x(x-2)(x+2)}\).

   Первые три дроби дают:

   \(\frac{x+2+x-2-x}{x^2-4}=\frac{x}{x^2-4}\).

   Тогда

   \(\frac{x}{x^2-4}-\frac{x^2+4}{2x(x^2-4)}=\frac{2x^2-(x^2+4)}{2x(x^2-4)}=\frac{x^2-4}{2x(x^2-4)}=\frac1{2x}\).

   Ответ: \(\frac1{2x}\).

3. ОДЗ: \(a\ne5b\), \(a\ne-5b\).

   Обозначим \(u=a-5b\), \(v=a+5b\). Тогда \(a^2-25b^2=uv\).

   \(\frac1{u^2}-\frac2{uv}+\frac1{v^2}=\frac{v^2-2uv+u^2}{u^2v^2}=\frac{(v-u)^2}{u^2v^2}\).

   \(v-u=(a+5b)-(a-5b)=10b\).

   Получаем \(\frac{100b^2}{(a-5b)^2(a+5b)^2}=\frac{100b^2}{(a^2-25b^2)^2}\).

   Ответ: \(\frac{100b^2}{(a^2-25b^2)^2}\).

4. ОДЗ: \(y\ne2\), \(x\ne-3\).

   Разложим на множители:

   \(x^2+9x+18=(x+3)(x+6)\),

   \(xy+3y-2x-6=y(x+3)-2(x+3)=(x+3)(y-2)\).

   Тогда

   \(\frac{(x+3)(x+6)}{(x+3)(y-2)}-\frac{x+5}{y-2}\)

   \(=\frac{x+6}{y-2}-\frac{x+5}{y-2}=\frac1{y-2}\).

   Ответ: \(\frac1{y-2}\).