166. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел а и b: 1) a = 3 ⋅ 5² и b = 3 ⋅ 5 ⋅ 7; 2) a = 2³ ⋅ 3² ⋅ 5⁴ и b = 2² ⋅ 3 ⋅ 5².

Решение:

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) чисел, представленных в виде разложения на простые множители, нужно:

• НОД: выбрать общие простые множители в наименьшей степени.
• НОК: выбрать все простые множители из обоих разложений в наибольшей степени.

1) a = 3 ⋅ 5² и b = 3 ⋅ 5 ⋅ 7

• НОД(a, b): Общие множители: 3 (в степени 1), 5 (в степени 1). Наименьшая степень множителя 3 равна 1, множителя 5 равна 1.
• \( \text{НОД}(a, b) = 3^1 · 5^1 = 15 \)
• НОК(a, b): Все множители: 2 (отсутствует в 'a', но его степень 0), 3 (степень 1), 5 (степень 2), 7 (степень 1). Наибольшая степень множителя 3 равна 1, множителя 5 равна 2, множителя 7 равна 1.
• \( \text{НОК}(a, b) = 3^1 · 5^2 · 7^1 = 3 · 25 · 7 = 75 · 7 = 525 \)

2) a = 2³ ⋅ 3² ⋅ 5⁴ и b = 2² ⋅ 3 ⋅ 5²

• НОД(a, b): Общие множители: 2 (степень 3 и 2), 3 (степень 2 и 1), 5 (степень 4 и 2). Наименьшая степень множителя 2 равна 2, множителя 3 равна 1, множителя 5 равна 2.
• \( \text{НОД}(a, b) = 2^2 · 3^1 · 5^2 = 4 · 3 · 25 = 12 · 25 = 300 \)
• НОК(a, b): Все множители: 2 (степень 3), 3 (степень 2), 5 (степень 4). Наибольшая степень множителя 2 равна 3, множителя 3 равна 2, множителя 5 равна 4.
• \( \text{НОК}(a, b) = 2^3 · 3^2 · 5^4 = 8 · 9 · 625 = 72 · 625 = 45000 \)

Ответ:

• 1) НОД = 15, НОК = 525.
• 2) НОД = 300, НОК = 45000.