165-6 4 COS2X-8 COSx+3=0

Решение:

Это квадратное уравнение относительно cos x. Пусть y = cos x, тогда уравнение примет вид:

• \[ 4y^2 - 8y + 3 = 0 \]

Найдем дискриминант:

• \[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4(4)(3) = 64 - 48 = 16 \]

Найдем корни уравнения:

• \[ y_1 = \frac{8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{8 - 4}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \]
• \[ y_2 = \frac{8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{8 + 4}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \]

Теперь вернемся к замене y = cos x:

• \[ \cos x = \frac{3}{2} \]
• Это уравнение не имеет решений, так как значение косинуса не может быть больше 1.
• \[ \cos x = \frac{1}{2} \]
• Это уравнение имеет решения. Общий вид решений:
• \[ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \[ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]