16. Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:4:11. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 14.

Решение:

Отношение длин дуг, на которые делят вершины треугольника описанную окружность, равно отношению соответствующих центральных углов, которые, в свою очередь, равны удвоенным противолежащим углам треугольника. Также, длины сторон треугольника связаны с радиусом описанной окружности через синус противолежащего угла.

1. Находим отношение частей и общий коэффициент пропорциональности:
• Пусть длины дуг равны \( 3x, 4x, 11x \).
• Общая длина окружности равна сумме длин этих дуг: \( 3x + 4x + 11x = 18x \).
• Отношение частей составляет \( \frac{3}{18}, \frac{4}{18}, \frac{11}{18} \).
2. Находим величину центральных углов:
• Центральный угол, соответствующий дуге \( 3x \), равен \( \frac{3}{18} \cdot 360^{\circ} = 60^{\circ} \).
• Центральный угол, соответствующий дуге \( 4x \), равен \( \frac{4}{18} \cdot 360^{\circ} = 80^{\circ} \).
• Центральный угол, соответствующий дуге \( 11x \), равен \( \frac{11}{18} \cdot 360^{\circ} = 220^{\circ} \).
3. Находим величину углов треугольника:
• Противолежащий угол треугольника равен половине центрального угла.
• Угол, противолежащий стороне, соответствующей дуге \( 3x \), равен \( \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \).
• Угол, противолежащий стороне, соответствующей дуге \( 4x \), равен \( \frac{80^{\circ}}{2} = 40^{\circ} \).
• Угол, противолежащий стороне, соответствующей дуге \( 11x \), равен \( \frac{220^{\circ}}{2} = 110^{\circ} \).
4. Используем теорему синусов:
• Меньшая сторона треугольника равна 14. Эта сторона противолежит наименьшему углу, который равен \( 30^{\circ} \).
• Теорема синусов: \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \), где \( R \) — радиус описанной окружности.
• \( \frac{14}{\sin 30^{\circ}} = 2R \)
• \( \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} \)
• \( \frac{14}{\frac{1}{2}} = 2R \)
• \( 28 = 2R \)
• \( R = 14 \)

Ответ: 14