16. В угол С величиной 126° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В, точка О — центр окружности. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах. Ответ:

Задание 16. Угол окружности

Дано:

• Угол \( C = 126^{\circ} \).
• Окружность с центром \( O \) вписана в угол \( C \), касаясь сторон в точках \( A \) и \( B \).

Найти: Угол \( \angle AOB \).

Решение:

1. Рассмотрим четырёхугольник \( CAOB \). Углы \( \angle CAO \) и \( \angle CBO \) равны \( 90^{\circ} \), так как радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным (сторонам угла).
2. Сумма углов в любом четырёхугольнике равна \( 360^{\circ} \).
3. Поэтому, сумма углов \( \angle C + \angle CAO + \angle CBO + \angle AOB = 360^{\circ} \).
4. Подставим известные значения:
\[ 126^{\circ} + 90^{\circ} + 90^{\circ} + \angle AOB = 360^{\circ} \]\[ 306^{\circ} + \angle AOB = 360^{\circ} \]

5. Вычислим \( \angle AOB \):

\[ \angle AOB = 360^{\circ} - 306^{\circ} = 54^{\circ} \]

Ответ: 54