16 В тупоугольном равнобедренном треугольнике АВС с основанием Ас провели высоту СН и биссектрису АМ. Найдите величину угла ВСН, если ∠ВАМ = 17°. Запишите решение и ответ.

Решение:

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC, высота CH, проведенная к основанию, также является медианой и биссектрисой. Это означает, что H является серединой AC, и \( \angle BCH = \angle BAH \).

AM — биссектриса угла BAC. Это значит, что \( \angle BAM = \angle MAC \).

По условию \( \angle BAM = 17^{\circ} \).

Так как AM — биссектриса, то \( \angle BAC = 2 \cdot \angle BAM = 2 \cdot 17^{\circ} = 34^{\circ} \).

В равнобедренном треугольнике ABC углы при основании равны, поэтому \( \angle BCA = \angle BAC = 34^{\circ} \).

Высота CH перпендикулярна основанию AC, поэтому \( \angle BCH = 90^{\circ} \) - \( \angle BHC \) .... Нет, \( \angle BCH = 90^{\circ} \) - \( \angle HBC \).

Рассмотрим треугольник BCH. \( \angle BHC = 90^{\circ} \) (так как CH — высота). \( \angle HBC \) — это часть угла \( \angle ABC \).

Угол \( \angle ABC = 180^{\circ} - \angle BAC - \angle BCA = 180^{\circ} - 34^{\circ} - 34^{\circ} = 180^{\circ} - 68^{\circ} = 112^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике BCH:

\( \angle BCH = 90^{\circ} - \angle HBC \).

Угол \( \angle HBC \) = \( \angle ABC - \angle ABH \) ... Нет.

В равнобедренном треугольнике ABC, высота CH к основанию AC делит угол ACB пополам. Значит, \( \angle BCH = \angle ACH \).

\( \angle BCA = 34^{\circ} \).

\( \angle BCH = \frac{1}{2} \angle BCA = \frac{1}{2} \cdot 34^{\circ} = 17^{\circ} \).

Однако, в условии сказано, что треугольник тупоугольный. Тупой угол может быть только у вершины B. В этом случае, угол при основании AC будет острым.

Пересмотрим:

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC, угол \( \angle ABC \) — тупой. Следовательно, углы при основании \( \angle BAC = \angle BCA \) — острые.

AM — биссектриса \( \angle BAC \), значит \( \angle BAM = \angle MAC = 17^{\circ} \).

Тогда \( \angle BAC = 2 \cdot 17^{\circ} = 34^{\circ} \).

Так как треугольник равнобедренный с основанием AC, то \( \angle BCA = \angle BAC = 34^{\circ} \).

CH — высота к основанию AC. В равнобедренном треугольнике высота к основанию является и биссектрисой угла при вершине. Следовательно, CH делит \( \angle BCA \) пополам.

\( \angle BCH = \frac{1}{2} \angle BCA = \frac{1}{2} \cdot 34^{\circ} = 17^{\circ} \).

Ответ: 17°.