16. В треугольнике ABC угол C равен 135°, АВ=14√2. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности (2R).

Формула теоремы синусов:

• \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \]

В нашем случае:

• Сторона AB (обозначим как c) равна 14√2.
• Противолежащий угол C равен 135°.

Подставим известные значения в формулу:

• \[ \frac{14\sqrt{2}}{\sin 135°} = 2R \]

Теперь найдем синус 135°:

• \[ \sin 135° = \sin (180° - 45°) = \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Подставим значение синуса обратно в уравнение:

• \[ \frac{14\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2R \]

Упростим выражение:

• \[ 14\sqrt{2} \times \frac{2}{\sqrt{2}} = 2R \]
• \[ 14 \times 2 = 2R \]
• \[ 28 = 2R \]

Теперь найдем радиус R:

• \[ R = \frac{28}{2} \]
• \[ R = 14 \]

Ответ: 14